Muestra que es un tema

Question

Deje $F:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $C^2$ $[a,b]$ y $u$ ser una solución para el de Euler-lagrange las ecuaciones para el funcional dado por $$J(u) = \int F(u(t),\dot{u}(t)).dt, $$

Demostrar que la función de $ M$ $[a,b]$ $$M(t)= \dot{u}(t)F_p(u(t),\dot{u}(t))-F(u(t),\dot{u}(t)) $$ es constante en $[a,b]$.

De Euler lagrange ecuaciones nos dicen que $$\frac{d}{dt}F_p = F_u $$ (donde $F_u$ es el vector de derivadas parciales de w.r.t. el primer argumento, y $F_p$ w.r.t. en el segundo).

Algo de luz sobre cómo tot hacer frente a este problema es muy apreciada.

Answer 1

Acaba de calcular, tenemos \begin{align*} \dot M(t) &= \ddot u(t) F_p(u(t), \dot u(t)) + \dot u(t)^2 F_{pu}(u(t), \dot u(t)) + \dot u(t)\ddot u(t) F_{pp}(u(t), \dot u(t))\\ &{} \quad - \dot u(t) F_u(u(t), \dot u(t)) - \ddot u(t)F_p(u(t), \dot u(t)) \end{align*} En el más corto (notación de la partida de los argumentos $t$, e $u(t), \dot u(t)$) $$ \dot M = \ddot uF_p + \dot u^2F_{pu} + \dot u \ddot u F_{pp} - \dot u F_u - \ddot u F_p =\dot u^2F_{pu} + \dot u \ddot u F_{pp} - \dot u F_u $$ En el otherhand $\frac{d}{dt} F_p(u(t), \dot u(t)) = F_u(u(t), \dot u(t))$, que es $ F_u = \dot u F_{pu} + \ddot u F_{pp}$, dando \begin{align*} \dot M &=\dot u^2F_{pu} + \dot u \ddot u F_{pp} - \dot u F_u \\ &= \dot u\cdot (\dot u F_{pu} + \ddot u F_{pp}) - \dot u F_u\\ &= \dot u F_u - \dot u F_u\\ &= 0. \end{align*} Por lo $M$ es constante.