Resolver la ecuación de $a ^ b + b ^ a = 200$

Question

Encontrar$a$$b$,

$a ^ b + b ^ a = 200$
Una de las respuestas es $a = 1$$b = 199$.

Vamos a decir $a, b$ pertenece a $\mathbb{R}$, entonces habrá muchas soluciones, para cada una de las $a$ existe $b$,$\mathbb{R}$.

Pero, ¿cómo averiguar $b$ por cada $a$? He intentado de muchas maneras, pero no es capaz de resolver. Aquí está uno de los enfoque que he probado,

Try-1

$a ^ b + b ^ a = 200$
Tomar registro en ambos lados

$b \log a + a \log b = \log 200$

Después de esto yo no soy capaz de resolver (es decir, todos los $b$'s son uno de los lados, y todos los $a$'s son otro lado)

Try-2

$a ^ b + b ^ a = 200$
(Tratando de un caso especial, decir $a = b$)

$a^a+a^a=200$

$2a^a = 200$

$a ^ a = 100$

Tomar el logaritmo base 10 en ambos lados

$a \log a = \log 100$

$a \log a = 2$

aquí metido, y no es capaz de resolver y no poder encontrar a $b$.

Answer 1

Este problema es muy dura, y no creo que se puede resolver con las funciones elementales. El problema es que los logaritmos de las sumas no jugar bonito.

También, han hecho que este error en tratar 1

$$\log(a^b+b^a)\ne b\log(a)+a\log(b)$$

Para su caso especial $a=b$, hay una solución, la cual fue señalado por gammatester, y es $$a=\frac{\ln100}{W(\ln100)}\approx3.597$$

He resuelto los pares numéricamente usando el método de newton

Hay una función que convierte a uno de la pareja a otro, es graficada a continuación

La función va a ser su propia inversa

Esta función se parece a $\frac1x$, incluso parece tener los mismos límites, permite comparar los

¿Qué sucede si cambia la $1$ a algo más, así que es igual en un solo lugar? Sé que la función tiene la solución $a=1$ $b=199$ así que vamos a intentar $\frac{199}{x}$.

Mientras que los hizo cruzar nuestra función en la 199, en realidad no actúa como la función..

Así que he intentado algunas otras cosas como los logaritmos, se ve un poco más como la función, pero me estoy dando hasta ahora.

También aquí una matemáticamente poco práctico, pero es muy útil para aproximaciones de la solución a su problema.

Definir la secuencia siguiente: $$a_0=1$$ $$a_{n+1}=a_n-\frac{a_n (\lambda^{a_n}+a_n^\lambda)}{a_n \lambda^{a_n} log(\lambda)+\lambda a_n^\lambda}$$ A continuación, la función que transforma a partir de un trabajo par $(a,b)$ a otro $$f(\lambda)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$$