Encuentre el término constante en el desarrollo de $(2x^2 + \frac{1}{4x})^{99}$

Question

Estoy luchando con el siguiente problema:

Encuentre el término constante en el desarrollo de $(2x^2 + \frac{1}{4x})^{99}$

Se trata de un problema de combinatoria en el que debo encontrar cuál es el término constante cuando $x^0$ .

He realizado los siguientes avances:

$$\sum\limits_{k=0}^{n=99} \binom {99} {k} 2^{n-k}x^{2(n-k)} \times (\frac{1}{4x})^k = \sum\limits_{k=0}^{n=99} \binom {99} {k} 2^{99-k}x^{(198-2k)} \times \frac{1}{2^{2k}x^k}$$

Esta suma de términos podría escribirse así:

$$\sum\limits_{k=0}^{n=99} \binom {99} {k} \frac{2^{99-k}x^{(198-2k)}}{{2^{2k}x^k}} = \sum\limits_{k=0}^{n=99} \binom {99} {k} 2^{99-3k}x^{(198-3k)}$$

Esto me da que $x^0$ cuando $198-3k = 0$ Pero esta es la respuesta equivocada....

Mi libro de texto dice que el término constante será cuando $3k-99 = 0$ que da que $k = 33$ y $\binom {99} {33} \times 2^{99-198}$

¿En qué me he equivocado?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: La forma más fácil es ver que el término constante se crea al tener 33 de $x^2$ y 66 de $\frac{1}{x}$ de la totalidad de los 99 términos. En general, hay ${99 \choose 33}$ formas de encontrar este producto. La respuesta entonces es $${99 \choose 33}2^{-99} $$

Answer 2

Se encontró que el término constante era el $k=66$ que para su configuración es correcta; se obtiene un coeficiente de

$$\binom{99}{66}2^{-99}\;,$$

que es igual a $$\binom{99}{99-66}2^{-99}=\binom{99}{33}2^{-99}\;.$$

No olvides que $\dbinom{n}k=\dbinom{n}{n-k}$ siempre.

Si se cambian los roles de los dos términos antes de aplicar el teorema del binomio, se obtiene el resultado directamente:

$$\begin{align*} \left(2x^2+\frac1{4x}\right)^{99}&=\sum_{k=0}^{99}\binom{99}k(2x^2)^k\left(\frac1{4x}\right)^{99-k}\\ &=\sum_{k=0}^{99}\binom{99}k2^{k-2(99-k)}x^{2k-(99-k)}\\ &=\sum_{k=0}^{99}\binom{99}k2^{3k-198}x^{3k-99}\;, \end{align*}$$

por lo que el término constante es el $k=33$ cuyo coeficiente es

$$\binom{99}{33}4^{-99}\;.$$