Producto de dos funciones integrables de Lebesgue

Question

En general, sé que no es necesariamente el caso que el producto de dos funciones integrables de Lebesgue $f,g$ será integrable de Lebesgue. Pero estaba leyendo en un libro de texto que si al menos una de estas funciones está acotada, entonces su producto será integrable de Lebesgue. ¿Cómo podemos demostrar esta afirmación? Agradecería algún aporte al respecto, gracias.

Answer 1

Si $|f|\le M$ casi en todas partes, entonces $|fg|\le M|g|$ casi en todas partes, por lo tanto $\displaystyle\int|fg|\le M\int|g|$ es finito porque $g$ es integrable.