Puede un anillo sin una unidad de elemento tiene un sub-anillo con una unidad de elemento?

Question

Un anillo no necesita tener una unidad de elemento.e.g. incluso los números. Alguien puede darme un ejemplo de un anillo que no tiene una unidad de elemento, sino que es sub-anillo tiene una unidad de elemento.

Answer 1

Un ejemplo sencillo:

Si $R$ $S$ son anillos, donde $R$ tiene una unidad, sino $S$, no, a continuación, $R\times S$ no tiene una unidad, pero el sub-anillo $R\times\{0\}$.

Así, por ejemplo, puede tomar el producto $\mathbb{Z}\times2\mathbb{Z}$ de los enteros y los números enteros.

Answer 2

No hay ninguna razón por qué no. Incluso si un anillo de $A$ no tiene una unidad, todavía puede tener un idempotente. Si usted acaba de tomar un idempotente, junto con todos sus múltiplos enteros, se obtiene un anillo con unidad.

(Editado a partir de este punto. Gracias por señalar el error).

Por ejemplo, tome $A$$c_{00}$, el conjunto de todas las secuencias de $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tal que todos, pero un número finito de $x_n$$0$. Con pointwise la multiplicación y la suma, este es un anillo. La única unidad posible sería la constante de secuencia $x_n = 1$, lo que evidentemente no satisface el requisito de que casi todos los $x_n$'s $0$'s. Sin embargo, $A$ contiene idempotents: estas son las $0/1$valores de las secuencias. Para ser concretos, tomar la secuencia de $e_n$ dada por $e_1 = 1$, $e_n = 0$ para $n \neq 1$. A continuación,$e \in A$$e^2 = e$. Ahora es fácil convencerse de que $B := \{k \cdot e \ : \ k \in \mathbb{Z}\}$ es un sub-anillo de $A$, y que en el hecho de $B$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$.

Otros ejemplos similares truco que el trabajo es $l^1$ (el espacio de summable secuencias de) o $L^1(\mathbb{R}) \cap B(\mathbb{R})$, el espacio delimitado integrable funtcions. El ejemplo anterior he propuesto, $L^1(\mathbb{R})$, no puede ser un anillo, porque no es cerrado bajo la multiplicación.

Answer 3

$\mathbb{Z}/(12)$ tiene una unidad de elemento, así que en ese sentido no es un ejemplo, pero su ideal $(3)$ tiene un (diferente, por supuesto) de la unidad de elemento, concretamente $9$!

Answer 4

Aquí hay otro ejemplo basado en matrices. Deje $K$ ser un campo. Consideremos el conjunto a $R$ de las matrices de tipo $$ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \subconjunto K^{2,2}. $$ Suministro de $R$ con la costumbre de la matriz de la adición y la multiplicación. A continuación, $R$ es un anillo sin unidad de elemento. De hecho $$ \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ es del lado izquierdo de la unidad para todos los $b$, pero no hay a la derecha de la unidad. Sin embargo, el conjunto de matrices de tipo $$ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \subconjunto K^{2,2}. $$ es un sub-anillo de $R$, lo cual es aún un campo.