Pregunta en el cálculo

Question

Quiero calcular $\displaystyle{\sum_{n=4}^{\infty}{1 \over n^{3} + n^{2}\cos\left(n\right)}.\quad}$ Alguien me puede ayudar o dar una sugerencia?

Answer 1

Esta no es una respuesta pero es demasiado tiempo para una respuesta.

No creo que una forma cerrada de la suma podría ser encontrado.

Utilizando el mismo argumento como user125261 en su comentario, puedes escribir $$\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n^3+n^2}\lt\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n^3+n^2\cos(n)}\lt \sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n^3-n^2}$$ that is to say $$\frac{3 \pi ^2-29}{18}\lt\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n^3+n^2\cos(n)}\lt \frac{61-6 \pi ^2}{36}\approx 0.0495104$$ Now, computing partial sums, one could get the following results for $$S_p=\sum_{n=4}^{p}\frac{1}{n^3+n^2\cos(n)}$$ $$\left( \begin{array}{cc} p & S_p \\ 100 & 0.0419069 \\ 200 & 0.0419439 \\ 300 & 0.0419508 \\ 400 & 0.0419533 \\ 500 & 0.0419544 \\ 600 & 0.041955 \\ 700 & 0.0419553 \\ 800 & 0.0419556 \\ 900 & 0.0419558 \\ 1000 & 0.0419559 \end{array} \right)$$ que no muestran una muy rápida convergencia (esto fue hecho con Excel).