¿Por qué es la Mecha de la contracción en HFB o BCS igual a una sola partícula de densidad?

Question

Estoy tratando de entender cómo en Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) o la teoría BCS podemos escribir un producto de creación/aniquilación de los operadores como una sola partícula de densidades bajo el disfraz de "Mecha del teorema".

En este conjunto de diapositivas, en la diapositiva no. 20 (y los he visto en muchos, muchos, muchos papeles) que el autor se hace la afirmación de $c_a^\dagger c_b = \rho_{ba} + :c_a^\dagger c_b:$, invocando la Mecha del teorema, donde $\rho_{ba} \equiv \left.\langle\Phi\right| c_a^\dagger c_b\left|\Phi\rangle\right.$. Esencialmente, la Mecha de la contracción de las $c_a^\dagger c_b$ es igual a $\rho_{ba}$. Me gustaría poner esto en base firme. Mis dos preguntas son:

1. ¿Cómo sabemos que la contracción de la $\langle c_a^\dagger c_b \rangle = \rho_{ba}$?
2. Dado #1, el producto solicitado $:c_a^\dagger c_b:$ debe ser 0 en el estado $\left|\Phi\rangle\right.$, por definición. Somos libres para elegir "normal-ordenar" con respecto a cualquier estado que nos gusta?

Es decir, podemos decir $c_a^\dagger c_b$ es normal-ordenó con respecto a la aspiradora $\left|-\rangle\right.$, lo $\langle c_a^\dagger c_b \rangle$ debe ser 0 no, pero no es normal-ordenó con respecto al estado $\left|\Phi\rangle\right.$ donde $c^\dagger_a c_b \ne :c^\dagger_a c_b:$ (lo $:c^\dagger_a c_b:$ que realmente es)? Es allí una manera de probar que una cierta combinación $c_a^\dagger c_b$, $c_a c_b$, etc. siempre tiene una fuga normal-ordenó producto (creo que puedo mostrar esto con Boguliubov quasiparticles en este caso)?

Si tenemos la libertad de #2, #1 es trivial, sin tener que calcular nada, ya que $$ \rho_{ba} = \left.\langle\Phi\right| c_a^\daga c_b\left|\Phi\rangle\right. = \left.\langle\Phi\right| \langle c_a^\daga c_b \rangle + :c_a^\daga c_b:\left|\Phi\rangle\right. = \langle c_a^\daga c_b \rangle. $$

A partir de ahí podemos hacer más en general, de la descomposición $$\left.\langle\Phi\right| c_a^\dagger c_b^\dagger c_d c_c \left|\Phi\rangle\right. = \rho_{ca} \rho_{db} - \rho_{da}\rho_{cb} + \kappa_{ba}^* \kappa_{cd},$$

donde $\kappa_{ba} = \left.\langle\Phi\right| c_a c_b \left|\Phi\rangle\right.$, el uso de la Mecha del teorema.

Answer 1

Normal de pedido es un pedido de un producto de los operadores de campo, en el que todos los operadores de aniquilación se colocan a la derecha de toda la creación operadores. Esto significa que la expectativa de valor de una normal de ordenar en relación con el estado de vacío es cero.

Si $c_a^\dagger c_b = \rho_{ba} + :c_a^\dagger c_b:$ $|\Phi\rangle$ es el vacío, a continuación, $\rho_{ba} = \left.\langle\Phi\right| c_a^\dagger c_b\left|\Phi\rangle\right.$ porque $\langle \Phi|:c_a^\dagger c_b:|\Phi\rangle=0$ .

Es importante tener en cuenta que la definición de normal odering es dependiente de la definición de vacío. Cada conjunto de la creación y la aniquilación del operador se define en relación a algunos de vacío de estado, lo que implica que el normal de ordenar está implícitamente relacionado con el vacío del estado de definición. En el mar de Fermi nuestra definición de vacío es el estado de la energía de fermi llenado por los electrones para abajo, y para ello contamos con una definición adecuada de la Normal de ordenar compatible con el vacío (La partícula-agujero de la imagen).