La continuidad de la adjoint mapa en diversas topologías de operador

Question

Actualmente estoy leyendo acerca de operador de topologías en el libro "Métodos de la Moderna Física Matemática: Análisis Funcional" por Reed y Simon.

En su tratamiento del espacio de Hilbert adjunto, un teorema (Teorema VI.3) se establece que el medico adjunto mapa de $T \mapsto T^*$ es siempre continua en la débil y uniforme de la topología, pero es continua en el fuerte operador topología sólo si el espacio de Hilbert es finito-dimensional.

Sin embargo, un comentario anterior (p.184) señala que el débil operador topología es más débil que el fuerte del operador de la topología que a su vez es más débil que el uniforme de la topología. No quiere esto decir que la continuidad de la adjoint mapa en el uniforme del operador de la topología implica su continuidad en el fuerte del operador de la topología?

Por desgracia, la prueba del teorema anterior no es realmente útil para el principiante, ya que los estados que la continuidad en el uniforme y la debilidad de la topología son triviales. Accesible contraejemplo, sin embargo, demuestra el caso de que la continuidad en el fuerte del operador de la topología de la falla.

Gracias por ayudarme a salir de mi confusión!

Answer 1

Uniforme de la topología está determinado por un solo operario, norma $\Vert\cdot\Vert$$\Vert T\Vert=\sup\{\Vert Tx\Vert: x\in\operatorname{B}_X\}$. Deje $(T_i:i\in I)$ ser cualquier red convergente a $T$ en el uniforme de la topología, entonces tenemos $$ \lim_{i}\Vert T_i^*-T^*\Vert =\lim_{i}\Vert (T_i-T)^*\Vert =\lim_{i}\Vert T_i-T\Vert=0 $$ Por lo tanto $^*:\mathcal{B}(H)\to\mathcal{B}(H)$ es continua en el uniforme de la topología.

Débil topología es determinado por la familia de seminorms $\{\Vert\cdot\Vert_{x,y}:x,y\in H\}$$\Vert T\Vert_{x,y}=|\langle Tx,y\rangle|$. Deje $(T_i:i\in I)$ ser cualquier red convergente a $T$ en la topología débil. Para cualquier $x,y\in H$ hemos $$ \lim_{i}\Vert T_i^*-T^*\Vert_{x,y} =\lim_{i}|\langle(T_i^*-T^*)x,y\rangle| =\lim_{i}|\langle x,(T_i-T)y\rangle|\\ =\lim_{i}\Vert T_i-T\Vert_{y,x} =0 $$ Por lo tanto $^*:\mathcal{B}(H)\to\mathcal{B}(H)$ es continua en el weeak topología.

Fuerte topología es determinado por la familia de seminorms $\{\Vert\cdot\Vert_x:x\in H\}$$\Vert T\Vert_x=\Vert Tx\Vert$. Para un determinado $x,y\in H$ definimos el operador $x\bigcirc y:H\to H:z\mapsto \langle z,y\rangle x$. Uno puede fácilmente comprobar que $(x\bigcirc y)^*=y\bigcirc x$. Deje $\{e_n:n\in\mathbb{N}\}\subset H$ ser un ortonormales de la familia. Para cualquier $x\in H$ tenemos $$ \lim_{n}\Vert(e_1\bigcirc e_n)\Vert_{x} =\lim_{n}|\langle x, e_n\rangle| =0 $$ Tenga en cuenta que la última igualdad es la consecuencia de la desigualdad de Bessel. En el otro lado $$ \lim_{n}\Vert(e_1\bigcirc e_n)^*\Vert_{x} =\lim_{n}\Vert(e_n\bigcirc e_1)\Vert_{x} =|\langle x, e_1\rangle| $$ que no es $0$ en general. Así, el mapa de $^*:\mathcal{B}(H)\to\mathcal{B}(H)$ no es ni siquiera de forma secuencial fuertemente continuo.

Answer 2

Si $T:X\to Y$ es continuo, $T$ permanece en continuo si $X$ le es dada una topología más fina o $Y$ le es dada una topología más gruesa. Pero si ambas topologías se hacen más gruesos o tanto más fino, no se puede decir nada en general. En particular, si $T:X\to X$ es continua con respecto a una determinada topología en $X$, en tanto el dominio y codominio, que en general no puede concluir nada acerca de la continuidad de la $T$ al $X$ se da un más finas o más gruesas de la topología en tanto el dominio y codominio. Su ejemplo ilustra esto.

Aquí hay otro ejemplo de que el adjunto no es (secuencialmente) continua en el SOT: Vamos a $(e_n)_{n=0}^\infty$ ser un ortonormales base para un espacio de Hilbert $H$, y deje $S$ ser el único operador acotado en $H$ tal que $Se_n=e_{n+1}$ todos los $n$. A continuación, $S$ es una isometría a veces se llama un cambio unilateral. La secuencia de $({S^*}^n)$ converge en el SOT del operador cero, pero la secuencia de $(S^n)=(({{S^*}^n})^*)$ no convergen en el SOT.

Answer 3

Se podría pensar en la siguiente secuencia de operadores(converge fuertemente a cero, pero las secuencias de adjoints no) tomar Sn a ser la n-ésima potencia de desplazamiento a la izquierda.