Si el determinante y la traza de una matriz son iguales, entonces podemos demostrar que ellos tienen los mismos autovalores?

Question

Si $\det A = \det B$$\operatorname{tr}A=\operatorname{tr} B$, entonces podemos demostrar a $A$ $B$ tienen los mismos autovalores?

Answer 1

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Usted puede fácilmente extender este ejemplo a dimensiones superiores mediante la adición de $1$'s a lo largo de la diagonal, por ejemplo.

Si quieres un ejemplo donde ambas matrices son no singulares, entonces trate de:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{48}{15} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{6}{5} \end{pmatrix}$

El resultado se da en las dimensiones de $\leq 2$ como Daniel notas anteriores. Si quieres probar esto, a continuación, utilizar las caracterizaciones de la traza y el determinante en términos de los valores propios.

Espero que esto ayude!

Answer 2

Dos matrices tienen el mismo autovalores (con multiplicidad) si tienen el mismo polinomio característico. La traza y el determinante son sólo dos de las $n$ los coeficientes de este polinomio, y para que este no es siempre $n>2$, como se señaló anteriormente.