Resuelva $\frac{dy}{dx} = f^{-1}(x)$

Question

Estoy haciendo una asignatura de ecuaciones diferenciales, y me han dado esto como pregunta de reto.

Resuelva $\frac{dy}{dx} = f^{-1}(x)$

( $f^{-1}(x)$ es la función inversa de x).

Supongo que la respuesta implica ecuaciones diferenciales separables, pero no acabo de ver cómo hacerlo.

¿Hay alguna sustitución que ayude a resolverlo?

Editer :

He probado las siguientes ideas:

Idea 1.

$$ \begin{align} y &= \int f^{-1}(x) \, dx\\ \mathrm{let}\,\,u &= f^{-1}(x)\\ x &= f(u)\\ \frac{dx}{du} &= f'(u)\\ dx &= f'(u) \, \, du\\ \mathrm{so} \,\, y &= \int u f'(u)\, du\\ \end{align} $$

¿Es esto correcto y, en caso afirmativo, me limitaría a integrar por partes?

Answer 1

Lo he entendido mal, lo siento.

FWIW, no existe tal función definida en todo el $\mathbb{R}$ .

Si la hubiera, al referirme a la derivada supondría que estaríamos buscando una función continua (digamos que no continua en casi todas partes). Y al referirnos a una inversa, supondría que buscamos una función uno a uno (en lugar de una función con una inversa restringida).

Dado que el dominio de $f$ sería todo $\mathbb{R}$ la gama de $f^{-1}$ es todo $\mathbb{R}$ también. Entonces desde $f'=f^{-1}$ , $f$ es a veces creciente, a veces decreciente. Esto no es posible para una función continua uno a uno.

Answer 2

Mira esto Sugerencia .

Teorema: Sea $f$ sea una función uno a uno con inversa $f^{-1}$ . Supongamos que $f$ sea diferenciable en un punto $x$ con $f'(x)\ne0$ y además supongamos $f^{-1}$ es continua en $f(x)=y$ . Entonces $$(f^{-1})'=\frac{1}{f'(x)}$$

De hecho, $$\frac{dx}{dy}\cdot f'(x)=1$$ Ahora piensa en esta EDO, $$y'=f^{-1}\longrightarrow x'\cdot x=1$$