Esta es una pregunta sobre los sistemas dinámicos. Supongamos que tengo un espacio métrico compacto $X$, $([0,1], B, \mu)$ probabilidad de espacio, con $B$ a (Borel) sigma álgebra, y $\mu$ la probabilidad de medir. Supongamos también que $\mu(A) > 0$ para cualquier conjunto no vacío $A \subset X$. Si tomamos una medida invariante de transformación de $T:X\to X$ y asumir que NO es topológicamente mezcla, ¿cómo podemos mostrar que NO se puede mezclar con respecto a $\mu$?
Esto es cómo iba a intentar. Tomar dos conjuntos no vacíos abrir conjuntos de $A$$B$$X$.
Ya sabemos que T NO es topológicamente mezcla, hay una infinidad de números naturales $n \in \mathbb{N}$ tal que $T^{n}(A) \cap B = \emptyset$.
La preimagen de $T^{n}(A)$$T^{n-1}(A)$. Por la medida de conservación, tenemos $\mu (T^{n-1}(A)) = \mu(T^{n}(A))$. Por el repetido argumento, eventualmente tendremos $\mu (T^{-n}(A)) = \mu(A)$.
Ahora tenemos $T^{-n}(A) \cap B = \emptyset$ para infinidad de $n$. Por lo tanto $\mu(T^{-n}(A) \cap B) = 0$.
Esto se contradice con el requisito de que para la mezcla, necesitamos $\mu(T^{-n}(A) \cap B) = \mu(A)\mu(B)$ en el límite de $n$ tiende a infinito, como la nuestra hipótesis fue que la medida de cualquier conjunto no vacío es mayor que cero.
La prueba completa.
Es esto correcto o hay lagunas o errores en mi lógica? Si está defectuoso, yo estaría muy agradecida de ver la versión correcta. Gracias!
