pregunta sobre representaciones binarias de la diversión

Question

supongamos $x \in [0,1]$ puede ser representado como:

$x = 0,a_1(x)a_2(x) \cdots$

con $a_n \in \{0,1\}$

Con esto queremos decir que $x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n(x)}{2^n}$. Tenga en cuenta que algunos x tiene dos representaciones, entonces uno debe elegir la donde $a_n(x) = 1$ lo suficientemente grande como n.

Deje $f(x): [0,1] \rightarrow [0,1]$ ser representado como:

$f(x) = 0,a_2(x)a_3(x) \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}(x)}{2^n}$

Demostrar que $a_n(x): [0,1] \rightarrow [0,1]$ es medibles para todos los $n$ $f(x)$ es medible (aquí nos referimos a Borel/Borel medible, por supuesto)

sugerencia: para la segunda parte considere la posibilidad de $f_k(x) = \sum_{n=1}^{k} \frac{a_{n+1}(x)}{2^n}$

Traté de probar esto, pero el principal problema es que no veo la manera de $a_n(0)^{-1}$ $a_n(1)^{-1}$ aspecto, si tomamos los intervalos que se disparidad de $0$ $1$ esta función es, por supuesto, vacía, pero ¿qué pasa si tenemos un intervalo de con $1$ o $0$ o ambos?

Creo que mi confusión es principalmente que el $x$ está construido con $a_n$.

Espero que ustedes me puede ayudar con esto!

Con respecto,

Kees

Answer 1

Tratar de probar que $$ f (x) =\begin{cases} 2x, & x\in[0,1/2],\\ 2x-1,& x\in(1/2,1]. \end{casos} $$ luego el measurability de $f$ es bastante sencillo.

Sobre $a_n(x)$, tratar de entender lo que el % de sistemas $\{x: a_n(x) = 0\}$y $\{x: a_n(x) = 1\}$ son. Estos son conjuntos de números con dígitos de th de $n$ igual a $0$ (o $1$) en su descomposición binaria. Por lo tanto, decir, $n=1$ son $[0,1/2]$ y $(1/2,1]$; $n=2$, $[0,1/4]\cup (1/2,3/4]$ y $(1/4,1/2]\cup (3/4,1]$. Así que procura mostrar que mayor $n$ estos juegos también son uniones de algunos intervalos.

Answer 2

Deje $E$ el conjunto de $x\in [0,1]$ cuyo binario de expansión de los extremos en todos los $1$'s. A continuación, $E$ es contable. Por lo tanto, es suficiente para mostrar cada una de las $a_n(x)$ es Borel medible en $[0,1]\setminus E.$ Deje $F:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ denotar la función del suelo. A continuación, $F$ es Borel medible en $\mathbb {R}.$ Recordemos también que si $f,g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ son Borel medible, entonces también lo es $f\circ g.$

Que de la forma, podemos definir una fórmula explícita para $a_n(x):$ Si $x \in [0,1]\setminus E,$ $n=1,2,\dots$

$$a_n(x) = F(2(2^{n-1}x - F(2^{n-1}x))).$$

Eso es fácil de comprobar. Por los comentarios de arriba, cada una de las $a_n$ es Borel medible en $[0,1].$ Como para el mapa de $x\to .a_2(x) a_3(x)\cdots,$ esto es sólo el mapa de $x \to 2x-a_1(x)$$[0,1]\setminus E,$, por lo que es Borel medible.