Puede un surjective función continua a partir de los reales a los reales asumir cada valor de un número par de veces?

Question

Supongamos $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en. Es posible que $f$ a asumir cada uno de sus valores de un número par de veces?

Para aclarar, que algunos de los valores podría ser tomado 2 veces, 4, 6, etc., pero siempre, incluso (y por lo tanto finito). Yo no requieren que existe un valor que es asumido de cualquier número determinado de veces. Por ejemplo, la función nunca puede tomar cualquier valor exactamente dos veces.

Aquí está estrechamente relacionada con la pregunta con una respuesta excelente.

Answer 1

Esto es imposible. Supongamos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es tal que la preimagen de cada punto contiene un número par de puntos. Sólo hay countably muchos puntos en $\mathbb{R}$ que son los mínimos locales o los máximos locales de $f$ (ya que para cada uno, se puede elegir un intervalo de tiempo racional de los extremos en el que es el único global máximo/mínimo). De ello se desprende que existe una $a\in \mathbb{R}$ de manera tal que ninguno de los preimages $x_1<x_2<\dots<x_n$ $a$ son mínimos locales o los máximos locales. Es decir, $f(x)-a$ cambia de signo en cada una de las $x_i$. Desde $n$ debe ser, incluso, se deduce que el $f(x)-a$ tiene el mismo signo en todos los de $\mathbb{R}\setminus [x_1,x_n]$. Desde $f$ está delimitada en $[x_1,x_n]$, se deduce que el $f$ es delimitada por debajo o delimitada por encima (dependiendo de la señal que tiene en $\mathbb{R}\setminus [x_1,x_n]$).

(Este argumento está tomado de esta buena respuesta parcial a cerca de un duplicado de tu pregunta anterior.)