¿puntos extremos de la bola unidad de las clases de Schatten?

Question

Supongamos $1

Consulte a continuación la definición de $S^p$:

http://en.wikipedia.org/wiki/Schatten_norm

Answer 1

En general, cada espacio no conmutativo $L^p$ (cada clase de Schatten $S^p$ en particular) es uniformemente convexo/a y uniformemente suave para $1el conjunto de puntos extremos de la bola unitaria de un espacio no conmutativo $L^p$ es su esfera unitaria, para cada $1

Espacios no conmutativos $L^p$: dado un álgebra de von Neumann $M$ y una traza normal (semi)-finita fiel en $M$, el espacio no conmutativo $L^p(M)$ es la completación del espacio generado por los elementos positivos de $M$ con soporte $\tau$-finito respecto a la norma $$ \|x\|_p=(\tau(|x|^p))^\frac{1}{p} $$ donde $|x|=\sqrt{x^*x}$. Luego, para exponentes conjugados, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, el dual de $L^p(M)$ es naturalmente isométrico a $L^q(M)$ para $1\leq p<\infty$, ya que en particular se cumple la desigualdad de Hölder no conmutativa. En particular, para $p=1$, recuperamos con $L^1(M)$ el predual único de $M\simeq L^\infty(M).

Clases de Schatten: en el caso donde $M=B(H)$ y $\tau$ es la traza usual, finita para operadores de clase traza $S^1$, obtenemos $L^1(B(H))=S^1$ y, más generalmente, $L^p(B(H))=S^p$.

Desigualdades de Clarkson no conmutativas: lo siguiente es verdadero para cada espacio no conmutativo $L^p$, en particular para clases de Schatten.

Si $1\leq p\leq 2$ y $q$ es el exponente conjugado, entonces $$ \left(\frac{1}{2} (\| x+y\|_p^q+\|x-y\|_p^q) \right)^\frac{1}{q}\leq (\|x\|_p^p+\|y\|_p^p)^\frac{1}{p} \qquad \forall x, y \in L^p(M). $$ Si $2\leq p\leq \infty$ y $q$ es el exponente conjugado, entonces $$ \left(\frac{1}{2} (\| x+y\|_p^p+\|x-y\|_p^p) \right)^\frac{1}{p}\leq (\|x\|_p^q+\|y\|_p^q)^\frac{1}{q} \qquad \forall x, y \in L^p(M). $$

Esquema: esto se ve primero que es verdadero para $p=1,2$ en el primer caso, y para $p=2,\infty$ en el segundo caso. Luego sigue por interpolación.

No es difícil mostrar que estas desigualdades implican convexidad uniforme para $1

Answer 2

En Curvatura no positiva en la clase p-Schatten, C. Conde se afirma que $S^p$ es uniformemente convexo y como consecuencia todos los puntos de la esfera unitaria son puntos extremos.