Mi pregunta es del libro de texto Vol. 1: Cálculo de una variable con introducción al álgebra lineal de Apostol.
Página 94. Ejercicio 17. Hemos definido $\pi$ para ser el área de un disco circular unitario. En el ejemplo 3 de la sección 2.3, demostramos que $\pi=2\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm dx$ . Utiliza las propiedades de la integral para calcular lo siguiente en términos de $\pi$ :
$(a)\int_{-3}^3\sqrt{9-x^2}\mathrm dx;\qquad$ $(b)\int_0^2\sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}\mathrm dx;\qquad$ $(c)\int_{-2}^2(x-3)\sqrt{4-x^2}\mathrm dx.$
Mi intento de solución. He resuelto (a) y (b), las respuestas fueron $\frac{9}{2}\pi$ y $\frac{\pi}{2}$ . Pero tengo problemas para resolver la tercera. para (c) tenemos $$\int_{-2}^2(x-3)\sqrt{4-x^2}\mathrm dx=2\int_{-1}^1(2x-3)\sqrt{4-4x^2}\mathrm dx$$ $$=2\int_{-1}^12(2x-3)\sqrt{1-x^2}\mathrm dx=4\int_{-1}^1(2x-3)\sqrt{1-x^2}\mathrm dx.$$ Ahora bien, según tengo entendido, se trata de una integral definida de múltiplo de dos funciones, que se puede resolver por integración por partes. Pero como todavía no he aprendido eso, quiero preguntar cómo puedo calcular esto en términos de $\pi$ ?
