Suma de términos en un ciclo de composición

Question

Deje $f, g$ ser funciones lineales.

Definir $S(x)$ $any$ composición de la secuencia de $f$ $g$ como

$S(x) = (f\circ g\circ g\circ f\circ f\circ g)(x)$

Deje $s$ como el punto fijo de $S$ luego de un ciclo determinado

$s \to_g g(s) \to_f (f\circ g)(s) \to_f (f\circ f\circ g)(s) \to_g (g\circ f\circ f\circ g)(s) \to_g (g\circ g\circ f\circ f\circ g)(s) \to_f s (again)$

Llame a $Sum_g(S)$ la suma de los términos de la ciclo tal que $g$ función se aplica a este término.

En este ejemplo, $Sum_g(S) = s + (f\circ f\circ g)(s) + (g\circ f\circ f\circ g)(s)$

Definir $T(x)$ como la inversa de la composición de la secuencia

$T(x) = (g\circ f\circ f\circ g\circ g\circ f)(x)$

Llame a $t$ el punto fijo de $T$

En este ejemplo, $Sum_g(T) = (f)(t) + (g\circ f)(t) + (f\circ f\circ g\circ g\circ f)(t)$

Demostrar que $Sum_g(S) = Sum_g(T)$

---

$f(x) = 3x-2$ $g(x)=2x+1$

$S(x) = (f\circ g\circ g\circ f\circ f\circ g)(x) = 216 x + 19$ $s = -19/215$

$T(x) = (g\circ f\circ f\circ g\circ g\circ f)(x) = 216 x - 105$ $t = 21/43$

$Sum_g(S) = s + (f\circ f\circ g)(s) + (g\circ f\circ f\circ g)(s) = -19/215 -127/215 -39/215 = -37/43$

$Sum_g(T) = (f)(t) + (g\circ f)(t) + (f\circ f\circ g\circ g\circ f)(t) = -23/43 -3/43-11/43 = -37/43$

---

Una aproximación visual

$f(x) = 3x-2$ (o de cualquier función lineal)

$g(x)=x/5+1$ (o cualquier otra función lineal)

Entonces

$ \color{red}{215/98 \to_g} \color{blue}{141/98 \to_f 227/98 \to_f} \color{red}{485/98 \to_g 195/98 \to_g} \color{blue}{137/98 \to_f} 215/98 (again)$

Obs: $215/98$ es el punto fijo de $(f\circ g\circ g\circ f\circ f\circ g)(x)$

El ciclo se invierte

$ 177/98 \color{red}{_g\leftarrow 395/98} \color{blue}{_f\leftarrow 197/98 _f\leftarrow 131/98} \color{red}{_g\leftarrow 165/98 _g\leftarrow 335/98} \color{blue}{_f\leftarrow 177/98} (again)$

Obs: $177/98$ es el punto fijo de $(g\circ f\circ f\circ g\circ g\circ f)(x)$

por qué sucede esto?

$ \color{red}{215/98 + 485/98 + 195/98 = 395/98 + 165/98 + 335/98}$

$\color{blue}{141/98 + 227/98 + 137/98 = 197/98 + 131/98 + 177/98} $

Answer 1

Considere la posibilidad de una composición de funciones $f_i, i=1$ $n$$f_i(x)=a_i x + b_i$

A continuación, $f_1 \circ \dots \circ f_n (x) = \left(\prod_{i=1}^n a_i \right) x + \sum_{k=1}^n \left(\prod_{i=1}^{k-1} a_i \right) b_k $

Así que el punto fijo es:

$$\frac{ \sum_{k=1}^n \left(\prod_{i=1}^{k-1} a_i \right) b_k } {1- \left(\prod_{i=1}^n a_i \right)}$$

Cada término en la suma de $Sum_g$ va a ser un punto fijo de algunos de permutación cíclica de la composición. $\prod_{i=1}^n a_i$ es preservada por cambios cíclicos y la reflexión, de modo que podemos ignorar el denominador.

Por lo tanto cada una de las dos sumas se expresa como una suma de pares de puntos en la composición (o su reflejo), el primero de los cuales mucho se ha $g$ aplicado y el segundo de los cuales puede tener cualquier cosa que se le aplica. El término correspondiente a un par es el producto de las pendientes de las funciones lineales en el medio, los tiempos de la intersección de la última.

Por lo tanto podemos dividir en parejas donde el segundo ha $g$ aplicado y parejas donde el segundo ha $f$ que se aplica a ella. El primer caso es completamente simétrica, de modo que la misma refleja y unreflected. El segundo caso es más complicado. En el $S$, en términos provienen de secuencias que comienzan en $g$ y terminando en $f$. En el $T$, el término viene de las secuencias que comienzan en $f$ y terminando en $g$. En ambos casos, la aportación de un término depende sólo del número de $f$s y $g$s entre ellos. Por lo tanto, necesitamos los siguientes combinatoria lema:

Para cada ciclo de $f$s y $g$s, y para cada par de números no negativos $x$$y$, el número de subsecuencias que consta de una $g$, seguido por $x$ $f$s y $y$ $g$s, seguido por un $f$, es el mismo que el número de subsecuencias que consta de un $f$, seguido por $x$ $f$s y $y$ $g$s, seguido por un $g$

La prueba es por discreto continuidad. Organizar todas las subsecuencias de longitud $x+y+1$ en orden, y contar el número de $f$s en cada uno. Esto puede aumentar o disminuir en la mayoría de las $1$ a cada paso. El primer tipo de subsequence se produce cuando una larga de longitud $x+y+1$ con $x$ $f$s es seguido por uno con $x+1$ $f$s. El segundo tipo de subsequence se produce cuando una larga de longitud $x+y+1$ con $x+1$ $f$s es seguido por uno con $x$ $f$s. Estos dos eventos deben alternar, así debe ocurrir con la misma frecuencia.