Parece que $(a+b)^\beta \leq a^\beta +b^\beta$ $a,b\geq0$ y $0\leq\beta\leq1$. Sin embargo, no podía demostrarlo ni el mismo resultado para un general función creciente y cóncava (que podría no sostener). ¿Si la desigualdad es verdadera, sigue de alguna desigualdad general o hay alguna otra prueba simple?
Respuesta
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Cuando $a=b=0$, el resultado es obvio. Asumir que $(a,b)\ne(0,0)$. Entonces, $t=a/(a+b)$ radica en $[0,1]$ por lo tanto, $t^{\beta}\geqslant t$ $\beta\leqslant1$. Asimismo, $1-t=b/(a+b)$ encuentra en $[0,1]$ por lo tanto, $(1-t)^{\beta}\geqslant 1-t$. Sumando estas dos desigualdades obtiene $t^{\beta}+(1-t)^{\beta}\geqslant 1$, que es su resultado.
