¿Cómo son iguales estas dos ecuaciones logarítmicas exponenciales?

Question

¿Cómo se cumple la siguiente afirmación? He intentado algunos valores reales, pero ¿alguien puede explicarme matemáticamente / algebraicamente? $$ a ^ {\ log_ {b} n} = n ^ {\ log_ {b} a} $$

Estoy leyendo algo que afirma esto, pero no veo la conexión. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

tomando el logaritmo en ambos lados tenemos$$\log_b n\ln(a)=\log_b a\ln(n)$ $ después de esto tenemos$$\frac{\ln(n)}{\ln(b)}\ln(a)=\frac{\ln(a)}{\ln(b)}\cdot \ln(n)$ $

Answer 2

Aquí hay un método:

ps

$$\log_ac=\frac{\log_bc}{\log_ba}$ $$$\log_ac\cdot\log_ba=\log_bc\cdot\log_aa$ $$$\log_ac^{\log_ba}=\log_aa^{\log_bc}$ $