que es más grande$2^{n^{1.001}}$ o$n!$

Question

para una n suficientemente grande, ¿cómo detrincar cuál es más grande?

$2^{n^{1.001}}$ o$n!$

Intenté hacer una serie:$a_n = \frac{2^{n^{1.001}}}{n!}$

y luego intente encontrar el límite de$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ y ver si es más grande o más pequeño que uno, también intenté usar la inducción pero realmente no llegué a ningún lado

por cierto, sé que la respuesta es que$2^{n^{1.001}}$ es más grande

Answer 1

Sugerencia: $$n!\le n^n=2^{n\log_2 n}$ $ Spoiler:

$2^{n\log_2 n}<2^{n^{1.001}}\iff n\log_2 n<n^{1.001}\iff \log_2n<n^{0.001}$, que finalmente es cierto, ya que$\log_2 n$ crece más lento que cualquier$n^\alpha$ con$\alpha>0$. (por ejemplo, por la regla de L'Hôpital sobre$n^{\alpha}/\log_2 n$)

Answer 2

¿Por qué no llevar a cualquier lugar?

\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{\frac{2^{(n+1)^{1.001}}}{(n+1)!}}{\frac{2^{n^{1.001}}}{n!}} \\ &= \frac{2^{(n+1)^{1.001}}}{(n+1)2^{n^{1.001}}} \end{aligned}

Tomar el logaritmo de ambos lados.

\begin{aligned} \log\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) &= \log\left(\frac{2^{(n+1)^{1.001}}}{(n+1)2^{n^{1.001}}}\right) \\ &= \log\left(2^{(n+1)^{1.001}}\right) -\log\left(2^{n^{1.001}}\right) - \log\left(n+1\right) \\ &= (n+1)^{1.001}\log\left(2\right) - n^{1.001}\log\left(2\right) - \log(n + 1) \end{aligned}

Dividir ambos lados por $\log(2)$.

\begin{aligned} \log_2\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) &= (n+1)^{1.001} - n^{1.001} - \log_2(n + 1) \end{aligned}

Ahora, tenemos una nueva función de $f(n)$ para el cual se cumple lo siguiente:

$$ f(n) = (n+1)^{1.001} - n^{1.001} - \log_2(n + 1) $$

$$ \lim_{n \to \infty}f(n) > 0 \implica 2^{n^{1.001}} > n!\\ \lim_{n \to \infty}f(n) < 0 \implica 2^{n^{1.001}} < n! $$

Vamos a romper esta función en dos partes:

$$ f(n) = (n+1)^{1.001} - \left(n^{1.001} + \log_2(n + 1)\right) $$

Ahora, vamos a repetir el proceso:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{1.001}}{\a la izquierda(n^{1.001} + \log_2(n + 1)\right)} > 1 \implica \lim_{n \to \infty}f(n) > 0 $$

Aquí, simplemente podemos decir que el grado más alto de término del numerador es mayor que el del denominador, por lo que el límite va a $\infty$. Por lo tanto, siguiendo la cadena de consecuencias de la copia de seguridad, nos encontramos con $2^{n^{1.001}} > n!$. Si has seguido ese tren de pensamiento, que, en efecto, podría llegar a la respuesta.

Answer 3

Sugerencia: Compare $$ n ^ {1.001} \ log (2) $$ y el registro de Stirling's Formula $$ n \ log (n) -n + \ frac12 \ log (2 \ pi n) $$

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Tenga en cuenta que dado que$x\gt\log(x)$ para todos$x\gt0$, tenemos $$ \begin{align} n^{0.001} &=\color{#C00000}{n^{0.0005}}n^{0.0005}\\ &\ge\color{#C00000}{0.0005\log(n)}n^{0.0005} \end {align} $$ Por lo tanto, para$n\gt1$, $$ \begin{align} \frac{n^{0.001}}{\log(n)} &\stackrel{\hphantom{n\to\infty}}{\ge}0.0005n^{0.0005}\\ &\stackrel{n\to\infty}{\to}\infty \end {align} $ ps