Dejemos que $C = \{0, 1, 2, \ldots, \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots\}$ . ¿Qué es? $\left|C\right|$ ? ¿O incluso está bien definido?
$C$ no es un conjunto, es, de hecho, una clase propia. Si $C$ fuera un conjunto, entonces $|C|$ se definiría. De ello se desprende que $|C|$ sería la mayor cardinalidad, ya que existe un orden total entre todas las cardinalidades, y $|C| > \kappa$ para cada cardinalidad $\kappa$ (toda cardinalidad es equivalente al conjunto de todas las cardinalidades menores). Pero $2^{|C|} > |C|$ y por lo tanto no puede haber un cardenal más grande.
"toda cardinalidad es equivalente al conjunto de todas las cardinalidades más pequeñas" ¿No estarás confundiendo cardinalidades con ordinales? Si por "equivalente" quieres decir "tiene la misma cardinalidad", entonces aleph_1 no es equivalente al conjunto {0,1,2,...,aleph_0}.
@Samuel, tienes razón, me he confundido entre los dos. Aun así, C no es un conjunto, porque un conjunto no puede contenerse a sí mismo ( es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_regularidad ), y en tal caso no estoy seguro de lo que significa |C|.
De hecho, se puede demostrar que C no es un conjunto aunque se elimine el axioma de regularidad. La idea es que se puede demostrar directamente que para cualquier ordinal a, a no es un elemento de a. Entonces se considera X = la unión de todos los conjuntos en C. Se puede demostrar que X es un ordinal que se contiene a sí mismo, dando la contradicción.
Este es el "dato 20" de la página 10 de
http://alpha.math.uga.edu/~pete/settheorypart1.pdf
Se trata de apuntes sobre conjuntos infinitos desde la perspectiva más "ingenua" (por ejemplo, uno de los hechos es que todo conjunto infinito tiene un subconjunto contable, por lo que los expertos verán que se está asumiendo alguna forma débil del Axioma de Elección, sin que se comente. Pero esto es coherente con la forma en que se utilizan los conjuntos en las matemáticas convencionales). Está pensado para que sea accesible a los estudiantes de grado. En particular, no se mencionan los ordinales, aunque hay algunos documentos más -sustituir "1" en el enlace anterior por "2", "3" o "4"- que describen un poco estas cosas.
Pero no veo por qué es necesario o útil hablar de ordinales (¡o universos!) para responder a esta pregunta.
Añadido Para que quede claro, quiero reformular la pregunta de la siguiente manera:
No hay un conjunto $C$ tal que para cada conjunto $X$ existe $Y \in C$ y una biyección desde $X$ a $Y$ .
Esto es fácil de demostrar a través de la diagonalización de Cantor y evita el "problema de reificación de las cardinalidades", es decir, no necesitamos decir cuál es la cardinalidad de un conjunto es Sólo para saber cuándo dos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Creo que esto es apropiado para un público matemático general.
¿Sería este documento una buena introducción para un estudiante de pregrado a algunos resultados teóricos de conjuntos más allá de los resultados simples que suelen incluirse en el plan de estudios de pregrado (como "R es incontable", "los conjuntos de potencia tienen mayor cardinalidad", etc.)? Si no es así, ¿qué sugerirías? Actualmente estoy leyendo Kamke en mi tiempo libre. Es muy bonito, pero bastante anticuado.
Gracias por esas notas. Son muy útiles. Es difícil encontrar exposiciones que no se limiten a identificar los cardinales con los ordinales (Levy es una excepción). Pero pedagógicamente, parece que el concepto de cardinal debe distinguirse del concepto de ordinal, ya que el hecho de que un conjunto tenga un ordinal implica su buena ordenabilidad.
Hay que tener en cuenta que la C definida anteriormente no es necesariamente un conjunto de todas las cardinalidades. Si (CH)[ [es.wikipedia.org/wiki/Hipótesis de continuidad]](http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis]) es falsa (es decir, no se acepta como axioma - no es demostrable ni refutable en la teoría de conjuntos) la C mostrada no es la de todas las cardinalidades.
No entiendo qué tiene que ver esto con la CH. Si el axioma de elección se mantiene, entonces todo cardinal es un aleph. Pero incluso sin esto, el OP probablemente sólo se refiere a una clase formada por tomar un conjunto de cada cardinalidad, que se puede ver que no es un conjunto. De todos modos, ¿cómo se obtiene $\mathbb{Z}$ como respuesta?
Supongo que Maciej interpreta $\{0,1,\ldots,\aleph_0,\aleph_1,\ldots\}$ para significar que contiene $n$ y $\aleph_n$ para cada natural $n$ mientras que el cartel original quiere decir que contiene $\aleph_\alpha$ para cada ordinal $\alpha$ Es decir, $C=\{|X|:X\text{ is a set}\}$ que es similar a una construcción de un conjunto de todos los conjuntos en el sentido de que abarca todos los conjuntos.
Imaginemos un mundo donde todas las cardinalidades son finitas. Las cardinalidades son:
$$ C = \{0, 1, 2, …\} = ℕ $$
(Nótese que aunque hay infinitas cardinalidades, cada una es finita).
Si $C$ tiene una cardinalidad, es infinita: $|C|=∞$
Lo que lleva a la contradicción de que $C = \{0, 1, 2, …; ∞\}$ .
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No está bien definido (como la "cardinalidad del conjunto de todos los conjuntos", etc.).
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Como pregunta al margen, ¿alguien tiene algún enlace útil (léase: no wikipedia y enlaces fáciles de leer) sobre lo que es la cardinalidad? Veo que sale en todas partes y me gustaría leer sobre ello. Gracias
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@Affan: Podrías hacer una pregunta.
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Probablemente se votaría para cerrarlo porque es un tema "amplio", algo que la wikipedia podría hacer por mí.
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@Affan bueno, la wikipedia realmente explica lo que es la cardinalidad; y si después de leerla tienes alguna(s) pregunta(s) más específica(s), puedes hacerlas en este sitio
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@GrigoryM Creo que esto es un duplicado de math.stackexchange.com/questions/1712964/ . Además, si Affan publicara una pregunta preguntando qué es un número cardinal, sería un duplicado porque ya se ha preguntado y respondido en math.stackexchange.com/questions/53770/ .