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Demuestre que para todo$n\in\mathbb{N}$,$\sqrt{n(n+1)}$ no es un número entero.

Estoy seguro de que esta es una prueba muy simple, pero parece que no puedo hacerlo bien. Traté de hacerlo por inducción, pero me atasco tratando de mostrar que$\sqrt{(k+1)(k+2)}$ no es un número entero y tampoco parece poder hacerlo a través de otros métodos. ¿Alguien tiene alguna idea? Muchas gracias de antemano!

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Peter Woolfitt Puntos 16561

A pesar de ser aproximadamente$n\in\Bbb{N}$, la inducción no funciona demasiado bien aquí.

En cambio, ¿qué tal si tratamos de identificar los enteros más cercanos ... en particular, debería poder mostrar$$n<\sqrt{n(n+1)}<n+1$ $ para$n\in\Bbb{N}$

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HappyEngineer Puntos 111

Enfoque relacionado: si$n(n+1)$ es un cuadrado, entonces$4(n^2+n)=4n^2+4n$ es un cuadrado. Pero también lo es$4n^2+4n+1=(2n+1)^2$. La diferencia de dos cuadrados es$1$ cuando ...

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gabr Puntos 20458

$(n+1)^2 > n(n+1) > n^2$ tomando raíces cuadradas$n+1 > \sqrt{n(n+1)} > n$, y no hay ningún número entero entre$n$ y$n+1$.

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