$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{333}$ Mejor manera de resolver que ensayo y error

Question

Pregunta: $x$ y $y$ son enteros positivos y $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{333}$ . Hallar el valor numérico de $x + y$ . Sé que la respuesta a la pregunta es $185$ y $x$ y $y$ en $37$ y $148$ Esto lo conseguí haciendo un programa que simplemente lo calculaba(prueba y error) pero quiero saber si hay alguna forma mejor que esta. He buscado por ahí problemas similares a este y me he encontrado con Ecuaciones diofantinas en wikipedia pero no fue especialmente útil.

Answer 1

En general, las raíces cuadradas de los números enteros son linealmente independientes sobre los racionales, por ejemplo, para los racionales $a,b,c$ la ecuación $a\sqrt 2+b\sqrt 3=c\sqrt 5$ sólo se cumple si $a=b=c=0$ . Por otra parte, tenemos dependencias racionales entre raíces cuadradas tales como $2\sqrt 2=\sqrt 8$ pero no por una mágica coincidencia diofántica, sino sólo "por razones triviales".

¿Sospechamos o podemos al menos intentar algo parecido aquí? Efectivamente, comprueba la factorización en primos de $333$ que es $3\cdot 3\cdot 37$ . Así que lo que realmente queremos son unas raíces cuadradas que sumen $3\sqrt{37}$ . Y, por supuesto, tenemos $$\sqrt{37}+2\sqrt{37}=3\sqrt{37},$$ de ahí $$\sqrt{37}+\sqrt{148}=\sqrt{333}. $$

Answer 2

Eleva al cuadrado ambos lados: obtienes $$x+2\sqrt{xy}+y = 333$$ Desde $x,y, 2$ y $333$ son todos racionales, se deduce que $\sqrt{xy}$ es racional, por lo que $xy$ es un número cuadrado. Escribir $x=ab^{2}$ y $y=cd^{2}$ donde $a,c$ son libres de cuadrados (esto siempre se puede hacer), podemos ver (por contradicción) que $a=c$ . Entonces existe un factor común de $a$ en todo el LHS - de hecho, se puede escribir como $a(b+d)^{2}$ . Por lo tanto, si descomponemos $333$ al descomponer $x$ y $y$ nos recuperaremos $a$ como factor libre de cuadrados. Por factorización, $$333 = 3 \cdot 111 = 3^{2} \cdot 37$$ y $37$ no tiene cuadrado (es primo), por lo que $a=37$ y $b+d=3$ Así que $(b,d) = (1,2)$ o $(2,1)$ Entonces $x+y = a(b^{2}+d^{2}) = 37\cdot 5 = 185$ .