Me gustaría saber si hay una manera de obtener el % de relación de repetición $$a_n=\frac{a_{n-1}^2+a_{n-2}^2}{a_{n-1}+a_{n-2}},\qquad (a_1=1,a_2=2)$$ en forma cerrada, o si no existe tal forma, cómo uno podría proceder para encontrar el límite de $(a_n)$ a por algún tipo de estimación (o algún otro método no sé).
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Did
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La secuencia de coeficientes de $r_n=a_{n+1}/a_n$ es positivo y tal que $r_{n+1}-1=-\frac{r_n-1}{r_n(1+r_n)}$, por lo tanto $r_n-1$ es alternativamente positivos y negativos. Desde $r_1=a_2/a_1=2\gt1$, se pone en $a_{2n}\gt a_{2n+1}$ $a_{2n-1}\lt a_{2n}$ por cada $n\geqslant1$. Del mismo modo, uno puede mostrar que $(a_{2n})_{n\geqslant1}$ está disminuyendo mientras que $(a_{2n-1})_{n\geqslant1}$ es cada vez mayor. Finalmente, $r_n\to1$ por lo tanto $(a_{2n})_{n\geqslant1}$ $(a_{2n-1})_{n\geqslant1}$ convergen al mismo límite de $\ell$ y este límite es tal que $a_{2n-1}\lt\ell\lt a_{2n}$ por cada $n\geqslant1$ (esto vale para todas las condiciones iniciales $0\lt a_1\lt a_2$, de lo contrario se deben intercambiar los impares y los pares de términos).
Hasta que alguien encuentre una manera de calcular analíticamente el límite de $\ell$$(a_n)_{n\geqslant1}$, se debe confiar en aproximaciones numéricas, basado en las desigualdades $a_{2n-1}\lt\ell\lt a_{2n}$ mencionado anteriormente. Estos muestran, en particular, que $\ell\gt a_3=\frac53$, por lo tanto $\ell$ ni $\frac32$ a la media aritmética de $a_1=1$ $a_2=2$ ni $\frac43$ su media armónica, ni $\sqrt2$ su media geométrica.
Jan
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[No es una respuesta completa todavía. Voy a volver y editar más tarde si encuentro la solución completa.]
Este problema es similar a la media aritmética-media geométrica. Denotar por $\ell(a_0,a_1)$ el límite de la secuencia de $a_0, a_1, \dotsc$. A continuación, $\ell(a_0,a_1) = \ell(a_1,a_2)$. También tenemos que $\ell(r a_0, r a_1) = r \ell(a_0,a_1)$. Entonces, si definimos $\ell(x) = \ell(1,x)$ obtenemos la siguiente ecuación funcional: \begin{equation} \ell(x) = x \; \ell \left(\frac {1+x^2}{x (1+x)}\right). \end{equation} Esto sólo funciona si $a_0 \neq 0$, pero en el caso de $a_0=0$ es muy simple. Definimos $g(x) = \tfrac {1+x^2}{x(1+x)} = 1 + \tfrac 1 x - \tfrac 2 {1+x}$. Entonces el funcional de la ecuación se convierte en $\ell(x) = x \ell(g(x))$
Ahora podemos estudiar las singularidades de $\ell$. Primero de todo, $\ell(0) = 1$, porque en ese caso podemos tomar la secuencia de $a_0, a_1=0$ y, a continuación, el resto de los términos son iguales a $a_0$. De forma similar, tenemos $\ell(1)=1$. Establecimiento $x = \epsilon$ $x = -1+\epsilon$ nos enteramos de que \begin{equation} \ell(\epsilon^{-1}) \sim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{-1}, \qquad \ell(-1+\epsilon) \sim_{\epsilon \to 0} 2 \epsilon^{-1}. \end{equation}
Generalmente estos problemas se resuelven mediante la búsqueda de una ecuación diferencial y la solución, pero no he conseguido encontrar una ecuación diferencial todavía.
