Verificación de prueba:$n\cdot \int_{0}^{1} x^n \cdot f(x) \, \mathrm{d}x\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}f(1) $

Question

Permita que$f: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua. Probar eso:$$n\cdot \displaystyle \int_{0}^{1} x^n \cdot f(x) \, \mathrm{d}x\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}f(1) $ $

Me gustaría saber si lo que hice es correcto, porque la solución de mi libro no es la misma y parece más complicada.

Usando la suma de Riemann, sabemos que:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{0}^{1} x^n \cdot f(x) \mathrm{d}x = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\cdot\sum_{i = 0}^{n} g(\frac{i}{n})$ dónde $g(x) = x^n \cdot f(x)$. Por lo tanto:$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n\cdot\int_{0}^{1} f(x) \cdot x^n \mathrm{d}x = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i = 0}^{n}g(\frac{i}{n})$ Sin embargo, tenga en cuenta que para todos$x \in [0, 1[$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x^n\cdot f(x) = 0$ y para$x = 1$ tenemos$g(1) = f(1)$.

Por lo tanto:$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n\cdot\int_{0}^{1} f(x) \cdot x^n \mathrm{d}x = f(1)$

Answer 1

"El uso de Riemann suma sabemos que :" ¿Por qué sabemos que, exactamente? Sumas de Riemann nos permite decir que por cada fijos $n_0$, $$\int_0^1 x^{n_0} f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n g\left(\frac{i}{n}\right)$$ with $g(x) = x^{n_0}f(x)$. Esto no es exactamente lo que escribió... Nota la ausencia de límites en el lado izquierdo.

En particular, se están confundiendo a la $n$ (que escribí $n_0$ para evitar esta ambigüedad) a la izquierda y el $n$ que va hasta el infinito en la suma de Riemann. Para corregir esto, lo que usted desea tener en cuenta es en realidad $$ \lim_{n_0\to\infty}\int_0^1 x^{n_0} f(x)dx = \lim_{n_0\to\infty}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n g_{n_0}\left(\frac{i}{n}\right) $$ (escrito de forma explícita la dependencia de la $g$$n_0$). Y ahora, básicamente lo que se desea hacer en su enfoque es cambiar los dos límites en el lado derecho, la escritura $$\lim_{n_0\to\infty}\lim_{n\to\infty} = \lim_{n\to\infty}\lim_{n_0\to\infty}$$ Pero usted no puede hacer eso en general. Usted necesita supuestos de este intercambio sea correcto, y ese es el quid de la prueba.

Answer 2

No hay necesidad de sumas de Riemann. Supongamos que$f$ es una función$C^1$ en$[0,1]$.

$$ \int_{0}^{1}(n+1)x^n f(x)\,dx = \left[x^{n+1} f(x)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x^{n+1} f'(x)\,dx = \color{red}{f(1)}+O\left(\frac{1}{n}\right)$ $ desde$|f'(x)|\leq M$ para cualquier$x\in[0,1]$. Sigue que$$ n\int_{0}^{1} x^n\,f(x)\,dx = \frac{n}{n+1}\,f(1) + O\left(\frac{1}{n}\right). $ $ Por otro lado,$C^1([0,1])$ es denso en$C^0([0,1])$ con respecto a la norma uniforme, por lo tanto,$$ \lim_{n\to +\infty} n\int_{0}^{1} x^n f(x)\,dx = f(1) $ $ contiene cualquier$f\in C^0([0,1])$.

Answer 3

INSINUACIÓN:

La aplicación de las sumas de Riemann tal como figura en el OP es defectuosa. Entonces, pensé que sería instructivo presentar una pista sobre el camino a seguir.

Para ello, aplique la sustitución$x\mapsto x^{1/n}$ para llegar a

$$ \begin{align} n\int_0^1 x^n f(x)\,dx&=\int_0^1 f(x^{1/n})x^{1/n}\,dx \end {align} $$

¿Puedes terminar ahora?

Answer 4

Algunos problemas adicionales con la solución publicada.

En$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n\cdot\int_{0}^{1} f(x) \cdot x^n \mathrm{d}x = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i = 0}^{n}g(\frac{i}{n})$, usted dice que cada$g(\frac{i}{n})$ va a cero, espera$g(1)$. Sin embargo, el número de términos que van a cero es infinito, lo que da la forma indeterminada$0\cdot \infty$.

Su enfoque, podría haberse escrito de la siguiente manera, hay una secuencia$k_n>>n$ tal que$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}n\int_{0}^{1} x^n \cdot f(x) \mathrm{d}x = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{k_n}\cdot\sum_{i = 0}^{k_n} g(\frac{i}{k_n})$, para que funcione, necesita encontrar un$\tilde{k}_n<k_n$ tal que

ps