¿Es la serie de Fourier siempre la aproximación "mejor"?

Question

En Stein y Sharkachi Introductorio del Análisis de Fourier libro, en el Capítulo 3, en los que tenemos la "Mejor Aproximación Teorema".

El teorema dice que si $f$ es Riemann integrable en el círculo y nos dotan de Riemann integrable funciones con el $L^2$ norma, que la "mejor" manera de aproximar $f$ por una secuencia de polinomios trigonométricos es, precisamente, por las sumas parciales de la serie de Fourier de $f$.

Rigurosamente hablando, si $a_N(\theta) = \sum_{|n| \leq N} b_n e^{in\theta}$ es cualquier otra secuencia de trigonemtric polinomios, a continuación, $$||f-S_N(f)||_{L^2} \leq ||f-a_N||_{L^2} $$
Mi pregunta es la siguiente, es esto cierto en las normas? La más natural de las normas para empezar sería , por supuesto, el $L^p$ normas. Tengo curiosidad de cómo "canónica" son series de Fourier en la aproximación arbitraria $L^1$ funciones.

Answer 1

No: la serie de Fourier sólo es mejor para el $L^2$ norma. Para un ejemplo muy simple, considere la función $f$ definido por $f(x)=0$ $x\in [0,c]$ $f(x)=1$ $x\in[c,2\pi]$ (para algunos $c\in [0,2\pi]$) y considerar sólo el primer término de la expansión de Fourier, que es $a=1-\frac{c}{2\pi}$. Esta constante $a$ minimiza el $L^2$ norma $\|f-a\|_2$. Por otro lado, si queríamos elegir un constante$b$, lo que minimiza el $L^1$ norma $\|f-b\|_1$, debemos elegir $b=0$ si $c>\pi$ $b=1$ si $c<\pi$ (por ejemplo, si $c>\pi$, aumentando $b$ sobre $0$ siempre solo aumenta el $L^1$ norma desde la integral en $[0,c]$ contribuye a más de la integral en $[c,2\pi]$). Así, por $c\neq 0,\pi,2\pi$, podemos obtener una mejor aproximación de Fourier de expansión en el $L^1$ norma.

(Más en general, la mejor constante aproximación a un valor real de la función es el valor de la media si el uso de la $L^2$ norma, pero el valor de la mediana si utiliza el $L^1$ norma.)