Momento angular - pregunta sobre Zare ' uso del modelo de Vector a la estimación de probabilidad

Question

Mi pregunta se refiere a un ejemplo concreto, aunque tengo la sensación de que la respuesta es más simple de lo que me imagine. En Zare del momento Angular: la Comprensión de Aspectos Espaciales de la Química y la Física pgs 53-54, Se analiza el modelo vectorial para acoplado y desacoplado de las representaciones para la adición de dos angular momenta.

He escaneado y se incluye la imagen que me voy a referir a para mayor claridad:

La imagen de arriba es una modificación de la representación de la desacoplado de la representación, a pesar de que parece muy similar a la juntada diagrama, la diferencia es que j1 ha sido arbitrariamente fijo, y j2 es precesión en el círculo, alrededor de un eje paralelo a la z.

Zare se expande el producto escalar de a $\mathbf{j_1}$ $\mathbf{j_2}$ (Eq 2.34):

$\mathbf{j_1 . j_2} = |\mathbf{j_1}||\mathbf{j_2}| cos(\gamma)$

$=|\mathbf{j_1}||\mathbf{j_2}| [ cos(\theta_1) cos(\theta_2)+ sin(\theta_1) sin(\theta_2) cos(\theta_1) cos(\phi_1 -\phi_2)]$

Tan lejos, tan bueno, no hay problema. A continuación se indica:

"Vamos a diferenciar la Ecuación (2.34) con respecto al tiempo para obtener la tasa de cambio de la longitud de $\mathbf{j}$. A partir de la ley de los cosenos

$|\mathbf{j}|^2 = |\mathbf{j_1}|^2 + |\mathbf{j_2}|^2 - 2 |\mathbf{j_1}| |\mathbf{j_2}| cos(\gamma)$

$=|\mathbf{j_1}|^2 + |\mathbf{j_2}|^2 - 2 \mathbf{j_1} . \mathbf{j_2}$

Así que

$\frac d{dt} (\mathbf{j_1} . \mathbf{j_2}) = -\frac 12 \frac d{dt} [ |\mathbf{j}|^2 + |\mathbf{j_1}|^2 - |\mathbf{j_2}|^2 ]$"

Y ESTE próximo paso es donde me pierdo:

Él INMEDIATAMENTE se compara la expresión con el siguiente:

$$= -|\mathbf{j}| \frac {d|\mathbf{j}|}{dt}$$

Así que no hay confusión, lo que no entiendo es la declaración:

$$\frac d{dt} (\mathbf{j_1} . \mathbf{j_2}) = -\frac 12 \frac d{dt} [ |\mathbf{j}|^2 + |\mathbf{j_1}|^2 - |\mathbf{j_2}|^2 ] = -|\mathbf{j}| \frac {d|\mathbf{j}|}{dt}$$

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Ahora, si me explícitamente expandir todos los componentes del vector de normas: $\mathbf{j_1}$,$\mathbf{j_2}$,y $\mathbf{j}$, y tratar de resolver de lo que hay dentro de los paréntesis en el lado izquierdo, acabo de regenerar la expresión:

$|\mathbf{j}|^2 =|\mathbf{j_1}|^2 + |\mathbf{j_2}|^2 - 2 \mathbf{j_1} . \mathbf{j_2}$, que no es de ninguna utilidad en la asistencia de mí, tan lejos como puedo ver.

Además, se indica explícitamente que la única vez dependiente de los componentes de este sistema es el ángulo diedro $\phi_1 - \phi_2$, y en cualquier expansión de los vectores $|\mathbf{j}|$ en sus componentes, una vez derivado haría cualquier otras partes independientes de silencio.

Estoy completamente confundido. He consultado los siguientes libros de texto y no se encontró ningún signo de este exacto de derivación:

Cohen-Tannoudji (volúmenes I y II), Feynman lecciones de Física, Vol III, Shankar, Atkin de la física, la química, Engel y Reid física, la química, la Gaziorowicz, y Eisberg y Resnick.

Lo que sospecho es que estoy simplemente de falta de alguna pieza fundamental del cálculo o de la aritmética. Si hay algún truco sencillo de Cálculo Vectorial que no he empleado para darme la identidad colocado aquí? Me encantaría una respuesta directa, pero también aceptará un empujón en la dirección correcta. Ahora se siente como que me estoy releyendo los libros sin una brújula.

Mejor,

y GRACIAS!

Answer 1

Como se mencionó en el comentario por Weijun Zhou, la longitud de lo vectores $\mathbf{j}_1$ y $\mathbf{j}_2$ no cambia como procesos $\mathbf{j}_2$ $\mathbf{j}_1$, sólo el vector total %#% cambios #% su longitud. Sabiendo esto sólo requiere aplicación de la regla de suma y de la cadena de derivaciones que es

$-\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|\mathbf{j}|^2=-2|\mathbf{j}|\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|\mathbf{j}|$

y el tiempo derivados de $\mathbf{j}$ y $\mathbf{j}_1$ son cero.