Encuentre $f(x)$ si $f\left(\frac{x+y}{3}\right)=\frac{2+f(x)+f(y)}{3}$

Question

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función diferenciable que satisface $$f\left(\frac{x+y}{3}\right)=\frac{2+f(x)+f(y)}{3}$$

si $f'(0)=2$ , encuentre la función

Mi intento:

tenemos $$f\left(\frac{x+y}{3}\right)-\frac{f(y)}{3}=\frac{2+f(x)}{3}$$ $\implies$

$$\frac{f\left(\frac{x+y}{3}\right)-\frac{f(y)}{3}}{\frac{x}{3}}=\frac{2+f(x)}{x}$$

Ahora tomando el Límite $x \to 0$ tenemos

$$\lim_{x \to 0}\frac{f\left(\frac{x+y}{3}\right)-\frac{f(y)}{3}}{\frac{x}{3}}=\lim_{x \to 0}\frac{2+f(x)}{x}$$

$\implies$

$$f'\left(\frac{y}{3}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{2+f(x)}{x}$$

Ahora bien, como el LHS debe ser finito, necesitamos $0/0$ en el lado derecho, por lo que $f(0)=-2$

Ahora por la regla de L'Hopital obtenemos

$$f'\left(\frac{y}{3}\right)=f'(0)=2$$

Integrando obtenemos

$$3f\left(\frac{y}{3}\right)=2y+c$$

Poniendo $y=0$ obtenemos $c=-6$

Así que

$$3f\left(\frac{y}{3}\right)=2y-6$$

Así que $$f(y)=2y-2$$

Por lo tanto, $$f(x)=2x-2$$

Pero esta función no satisface la ecuación funcional dada.

¿Qué ha fallado?

Answer 1

Utilizando $x=y=0$ en la ecuación funcional podemos ver que $f(0)=2$ . Además, tenga en cuenta que $$f(x+h)=\frac{2+f(3x)+f(3h)}{3}, f(x) =\frac{2+f(3x)+f(0)}{3}$$ para que $$\frac{f(x+h) - f(x)} {h} =\frac{f(3h)-f(0)}{3h}$$ Tomando los límites como $h\to 0$ obtenemos $f'(x) =f'(0)=2$ y por lo tanto $f(x) =2x+c$ y de $f(0)=2$ obtenemos $c=2$ para que $f(x) =2x+2$ . Puedes comprobar que satisface la ecuación funcional.

Answer 2

Se puede comprobar fácilmente que el mapa afín $a(x) = 2x+2$ es una función diferenciable que resuelve tanto la ecuación de definición de $f$ y la restricción de la derivada $f'(0) = 2$ .

Demostremos ahora la unicidad de esta solución. La ecuación de definición se puede reescribir $f\left( \frac{x+y}{3} \right) - \frac{f(x) + f(y)}{3} = \frac{2}{3}$ . Diferenciando con respecto a $x$ obtenemos $f'\left( \frac{x+y}{3} \right) - f'(x)=0$ independientemente de los valores $x$ y $y$ para que $f'(x)$ es una constante. La restricción $f'(0)=2$ por lo que se obtiene $f'(x) \equiv 2$ que se integra en $f(x) = 2x+c$ . Sustituyendo este resultado en la ecuación de definición de $f$ produce fácilmente $c=2$ .

Nota: : La respuesta de Paramanand Singh es mejor que la mía porque prueba que $f$ es diferenciable en cada punto utilizando únicamente su ecuación de definición y la suposición de que es diferenciable en $0$ . En este sentido, es bastante instructivo. Sin embargo, hay que tener en cuenta que una prueba de este tipo es en general bastante difícil, de ahí la frecuente suposición de que $f$ es diferenciable; entonces no es necesario recurrir a la definición de derivada, sino que basta con diferenciar la ecuación definitoria como hice anteriormente.