Encuentra el mayor término de la secuencia $a_n=\sqrt[n]{n}$

Question

Encuentra el mayor término de la secuencia $a_n=\sqrt[n]{n}$ .

Por simple cálculo:

$$a_1= 1$$

$$a_2=1.41$$

$$a_3=1.44$$

$$a_4=1.41$$

$$a_5=1.37$$

$$a_6=1.348$$

$$\quad\vdots$$

Después la secuencia parece ser bastante decreciente y

$$\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n}}=1$$

De esta manera se ve como $a_3$ es el término más extenso, aunque no hay ninguna prueba oficial que lo respalde.

¿Cuál es la forma habitual de abordar estos problemas?

Answer 1

Puedes utilizar la extensión a la recta real y encontrar el máximo por diferenciación (del logaritmo, por comodidad):

$$\left(\frac{\log x}x\right)'=\frac{1-\log x}{x^2}=0$$

Por tanto, la función es decreciente a ambos lados de $x=e$ y el máximo de la variable discreta es uno de $a_2, a_3$ .

Answer 2

Sugerencia $$a_n \leq a_{n+1} \Leftrightarrow n^{n+1} \leq (n+1)^n \Leftrightarrow n \leq (1+\frac{1}{n})^n$$

Ahora utiliza el hecho de que $(1+\frac{1}{n})^n$ está aumentando a $e$ .

Answer 3

$$\sqrt[n]n>\sqrt[n+1]{n+1}$$ es $$n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,$$ lo cual es obvio para $n\geq3$ porque $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<3.$$ Así, por su trabajo para $n\leq2$ vemos que $a_3$ es un máximo.