Combinatoria: varias formas de asiento a 5 hijos en línea con las normas

Question

Cinco de los niños deben estar sentados en $5$ asientos, pero Mike no se sienta en el medio, y Johnny no puede estar sentados en los bordes.

Ya que es bastante manejable para el recuento de cuántas maneras diferentes Mike y Johnny se puede colocar lo he hecho "a mano" y, a continuación, multiplica por $3!$ para el resto de los niños.

$m$ es para Mike, $j$ es para Johnny, $x$ es para el resto

$$ \begin{array}{c} n & \text{s1} & \text{s2} & \text{s3} & \text{s4} & \text{s5} \\ \hline 1 & m & j & x & x & x \\ 2 & m & x & j & x & x \\ 3 & m & x & x & j & x \\ 4 & x & m & j & x & x \\ 5 & x & m & x & j & x \\ 6 & x & j & x & m & x \\ 7 & x & x & j & m & x \\ 8 & x & j & x & x & m \\ 9 & x & x & j & x & m \\ 10 & x & x & x & j & m \\ \end{array} $$

De un total de 10 diferentes permutaciones veces $3!$ para el resto de los niños que pueden sentarse en cualquier lugar: $10 \cdot 6 = 60.$

Cómo es este problema supone para ser tratado en forma adecuada, matemática, de la moda ?

Answer 1

Que $M$ denotan el conjunto de disposiciones en que Mike está en el medio. Que $J$ denotan el conjunto de disposiciones en las que Johnny está sentado en uno de los bordes.

Puesto que evidentemente hay $5!$ arreglos si carecen de las condiciones, usted está realmente buscando: $$5!-|M\cup J|$ $

Con inclusión y exclusión se encuentran: $$|M\cup J|=|M|+|J|-|M\cap J|=4!+2\cdot4!-2\cdot3!=60$ $

para que: $$5!-|M\cup J|=120-60=60$ $

Answer 2

Considerar dos casos -

Caso 1)

Johnny está en el medio. Por tanto, los demás pueden sentarse en cualquier forma que desee. De ahí que el número de maneras en este caso es $4!=24$

Caso 2)

Ni Johnny ni Mike se sienta en el medio.

Ahora Johnny tiene sólo dos opciones para sentarse (2º y 4º) posiciones. Después de seleccionar los lugares para Johnny Mike se queda con 3 lugares para sentarse porque no se les permite sentarse en el medio. Así que él tiene 3 opciones, mientras que el resto puede ser permutada por la izquierda tres asientos. De ahí que el número de maneras en este caso son

$$\binom {2}{1}\cdot \binom {3}{1}\cdot 3! =36$$

Por lo tanto el número total de maneras en que los estudiantes pueden estar sentado en una línea de la satisfacción de las restricciones dadas se $36+24=60$

Espero que ayudó.

Answer 3

¡Asiento Johnny primero luego Mike entonces los otros, contando las posibilidades en cada caso

• Johnny en el medio: formas de $1 \times 4 \times 3! = 24$
• Johnny no en el medio: formas de $2 \times 3 \times 3! = 36$

Así que hay posibilidades de $24+36=60$ en total

Answer 4

Deje $A_1$ ser el caso de Mike está sentado en medio, $A_2$ ser el caso de Johny está sentado en el borde izquierdo o derecho de borde. Entonces tenemos que encontrar la $5!-|A_1 \cup A_2|$.

Con el fin de encontrar $|A_1 \cup A_2|$, podemos usar la Inclusión-Exclusión, el Principio de la $$|A_1 \cup A_2| = |A_1|+|A_2|-|A_1 \cap A_2|$$ Ahora, $|A_1| = 4! = 24$ $|A_2| = 2 \cdot4! = 48$ (Johny sentado borde izquierdo y sentado a la derecha del borde son simétricas y eventos independientes por lo que simplemente puede multiplicar el número de arreglos cuando Johny está sentado en el borde izquierdo por $2$). También, $|A_1 \cap A_2| = 2 \cdot 3! = 12$ por similar argumento. Por lo tanto, tenemos $|A_1 \cup A_2| = 48+24-12=60$ y el resultado debe ser $5!-60 = 60$.

Answer 5

Consideramos dos casos.

i) Mike en el st. $1$ o $5$ º lugar ($2$ maneras), Johnny no en los bordes ($3$ maneras) y los otros niños en los asientos restantes ($(5-2)!$ maneras): $$2\cdot 3\cdot (5-2)!=2\cdot 3\cdot 6=36.$ $

II) Mike en el nd de $2$ o $4$ º lugar ($2$ maneras), Johnny no en los bordes ($3-1$ maneras) y los otros niños en los asientos restantes ($(5-2)!$ maneras):
$$2\cdot (3-1)\cdot (5-2)!=2\cdot 2\cdot 6=24.$$

Así que el número total de formas es $36+24=60$.