¿Cómo es que $e^0 = 1$ si se define $e^x = \sum_{n = 0}^\infty x^n/n!$

Question

¿Cómo es que $e^0 = 1$ si se define $e^x = \sum_{n = 0}^\infty x^n/n!$ desde $e^0 = 0^0$ ¿Y sabemos que el lado derecho es indefinido?

Answer 1

En realidad, hay muchos argumentos para definir $0^0 := 1$ . Esta es una de las muchas razones de peso.

El hecho más persuasivo es que si $f$ y $g$ son funciones analíticas con $f(a)=g(a)=0$ no es idéntico a cero en una vecindad de $a$ entonces $$\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)} = 1.$$

Answer 2

En esta situación, debería ver que $0^0$ como

$$\lim_{x \to 0} x^0,$$

que se ve muy fácilmente que es $1$ .

En situaciones de continuidad, a menudo es mejor definir $0^0$ como $1$ . Una de las razones que he oído para esto es que la continuidad de $x^0$ es más útil que la continuidad de la función relacionada $0^x$ .