Evaluar la integral de $\ln(1-x^5)$ como una serie de energía

Question

Evaluar la siguiente integral como una potencia de la serie. $$\int \ln\left(1-x^5\right)dx$$

La respuesta correcta es la de abajo, pero yo sólo entiendo por qué algunas partes de la misma son correctos. $$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{5n+6}}{(n+1)(5n+6)}$$

Aquí es donde tengo que llegar a:

Reemplace$x^5$$t$. A continuación, empezar con una serie geométrica de $a=1$$r=t$. $$\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty}t^n = 1 + t + t^2 + \dots$$

Integrar ambos lados.

$$-\ln(1-t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n+1}}{n+1} = t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+\dots\\ \ln(1-t)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n+1}}{n+1} =-\left[ t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+\dots\right]$$

En este punto estoy bastante seguro de que esto no es una corriente alterna de la serie y que el $-1$ coeficiente de fuera de la suma en que la respuesta es correcta.

Integrar de nuevo, excepto que no estoy seguro de a dónde lleva esto a mí. No estoy seguro de cómo integrar la $\frac{t^{n+1}}{n+1}$ ni de cómo la ampliación de la serie se convierte en $\frac{x^{5n+6}}{(n+1)(5n+6)}$.

$$\int \ln(1-t)dt=-\left[\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+\frac{t^4}{24}+\dots\right]$$

Escribir esto me ha llevado a pensar en la siguiente, pero no me siento muy confiado. Sé el siguiente teorema,

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n\\ \int f(x) dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} c_n\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}$$

¿Quiere esto decir que si he a $\sum \frac{t^{n+1}}{n+1}$ me podría decir lo siguiente?

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}(x^5)^{n+1} \Rightarrow c_n = \frac{1}{n+1}$$

A continuación, la integración,la

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \frac{x^{5n+5+1}}{5n+5+1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{5n+6}}{(n+1)(5n+6)}$$

Esto me da la parte de la respuesta completa que entiendo. Algo acerca de esto se siente libre para mí, sin embargo. He salto adelante en algún lugar? ¿Por qué puedo sub $x^5$ vuelta en la etapa intermedia, pero no después?

Answer 1

Has cometido un error cuando se integra la representación de la serie $\log (1-t)$. La cuestión aquí es que la integral original es con respecto a los $x$: $$\int \log (1-x^5) \, dx,$$ not with respect to $x ^ 5$, which is what you had calculated when you wrote $$\int \log (1-t) \, dt.$$ In other words, you must substitute $t = x ^ 5$ antes de realizar el paso de integración. Luego integrar la serie resultante término por término.