binomio de multi etapa "proceso"

Question

Quiero modelar el tiempo de retransmisión de un archivo que se divide en K bloques. Sé que el éxito de los bloques de la primera transmisión de obedecer a la distribución binomial $$ X_1 \sim \texto B(K,p) $$ , p es la probabilidad de éxito de la entrega de paquetes. Entonces, la primera retransmisión(segunda transmisión) de tratar de completar la entrega de archivos con retransmitir la $N_2 = K-X_1$ paquetes, y el número de paquetes recibidos es $X_2$. $$ X_2 \sim \texto B(K-X_1,p) $$ El resto de la retransmisión de la siguiente manera: $$ N_i = K - \sum_{m=1}^{i-1}X_m \\ X_i \sim \texto B(N_i,p) $$ Dejamos el archivo de transacciones al $\sum_{m=1}^L X_m = K$.
Finalmente, deseo para derivar la función de densidad de probabilidad de $L$. Creo que el punto duro para modelar $L$ es el parámetro de $X_i$'s de la distribución depende de $X_{i-1}$.
Sé que el "multi etapa binomio modelo de árbol" podría ser suficiente para obtener el PDF de $L$. También creo que si hay una existente procesos estocásticos modelos de este proceso. Pero no puedo encontrar ninguna.
Cualquier sugerencia sobre el teórico pdf, proceso estocástico o la aproximación es de agradecer.

Answer 1

De $$\mathbb{E}[s^{X_1}]=(sp+q)^K$ $ (donde $q=1-p$), es bastante sencillo demostrar que $$\mathbb{E}[s^{X_1+\ldots+X_\ell}]=\left\{s(1-q^\ell)+q^\ell\right\}^K$$ Indeed, if we assume it holds for a given $ \ell$ (and it does for $\ell=1$), entonces\begin{align*}\mathbb{E}[s^{X_1+\ldots+X_{\ell+1}}]&=\mathbb{E}[\mathbb{E}[s^{X_1+\ldots+X_{\ell+1}}|X_1+\ldots+X_\ell]]\\ &=\mathbb{E}[s^{X_1+\ldots+X_{\ell}}(sp+q)^{K-X_1-\ldots-X_\ell}]\\ &=(sp+q)^K \left\{ \frac{s}{sp+q}\,(1-q^\ell)+q^\ell\right\}^K\\ &=\left\{s(1-q^{\ell-1})+q^{\ell+1}\right\}^K \end{align*} a partir de ahí, sigue que, para un determinado $\ell$, $X_1+\ldots+X_\ell$ se distribuye como una variable de aleatoria Binomial $\text{B}(K,1-q^\ell)$. Por lo tanto,\begin{align*}\mathbb{P}(L=\ell)&=\mathbb{P}(X_1+\ldots+X_{\ell-1}<K=X_1+\ldots+X_{\ell})\\ &=\mathbb{E}[\mathbb{P}(K=X_1+\ldots+X_{\ell}|X_1+\ldots+X_{\ell-1})\mathbb{I}_{X_1+\ldots+X_{\ell-1}<K}]\\&=\mathbb{E}[p^{K-X_1-\ldots-X_{\ell-1}}\,\mathbb{I}_{X_1+\ldots+X_{\ell-1}<K}]\\&=\sum_{i=1}^{K-1} {K \choose i} (1-q^{\ell-1})^i (q^{\ell-1})^{K-i} p^{K-i}\\ &=\sum_{i=1}^{K-1} {K \choose i} (1-q^{\ell-1})^i \left[q^{\ell-1} p\right]^{K-i}\\ &=\left[1-q^{\ell-1}+q^{\ell-1} p\right]^K-(1-q^{\ell-1})^K \end{align*} esto le da la distribución de los $L$.

Como un chequeo, puede ejecutar el siguiente código

T=10^6
N=13
p=.85
ell=rep(1,T)
for (t in 1:T){
  x=rbinom(1,N,p)
  while (x<N){ ell[t]=ell[t]+1; x=x+rbinom(1,N-x,p)}}

y comparar las frecuencias con

probel=function(N,p,el){
 (1-(1-p)^(el-1)+p*(1-p)^(el-1))^N-(1-(1-p)^(el-1))^N}