Probar una identidad algebraica

Question

Pruébalo:

$$(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b)(b + c)(c + a)$$

El problema:

No estoy seguro de cómo proceder después de ampliar los soportes en el RHS. No estoy seguro de si también he expandido correctamente. Mi solución es:

Answer 1

Intenta poner $a+b+c=x$ . Entonces considere \begin{align} (x-a)(x-b)(x-c) &= (x-a)(x^{2}-(b+c)x+bc)\\ &= x^{3}-(b+c)x^{2}+bcx-ax^{2}+ax(b+c)-abc\\ &= x^{3}-x^{2}(a+b+c)+x(ab+bc+ac)-abc\\ \end{align} nota que $$x^{3}-x^{2}(a+b+c)=0$$

Una pequeña reorganización le dará la identidad que busca.

Answer 2

Ambos lados son polinomios homogéneos en $a,b,c$ con grado $3$ . Puede comprobar que están de acuerdo en $1,1,1$ y que el LHS desaparece en $a+b=0$ , $a+c=0$ , $b+c=0$ (para comprobar una condición es suficiente, por simetría) para que sean el mismo polinomio. Pero si $a+b=0$

$$(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc = c(ab)-abc =0$$ y hemos terminado.

Answer 3

$$(a+b)(b+c)(c+a)$$ $$=(ab+bc+ca+b^2)(c+a)$$ $$=(ab+bc+ca)(a+c)+ab^2+b^2c$$ Añadir $abc$ da: $$(ab+bc+ca)(a+c)+ab^2+b^2c+abc$$ $$=(ab+bc+ca)(a+c)+b(ab+bc+ac)$$ $$=(ab+bc+ca)(a+b+c)$$

Answer 4

$(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc$

P1

$f(a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc$

$f(-b) = c(-b^2 + bc -bc) - cb^2 = 0$

De forma simétrica

a+b,b+c,c+a son factores

Puedes utilizar el argumento de la simetría y afirmar que estos son los únicos factores

O puedes ir por el camino de la expansión y la factorización de nuevo

Answer 5

Similar a las soluciones de Jack D'Aurizio y sidt36:

Considere cada lado como una función de $a$ : $$L(x) = (x + b + c)(xb + bc + cx) - xbc$$ $$R(x) = (x + b)(b + c)(c + x)$$

Ambos son cuadráticos, por lo que se pueden expresar como $A(x-r)(x-s)$ (donde $r,s$ en general puede ser complejo). Pero es fácil comprobar que $$L(-b) = R(-b) = 0\\L(-c) = R(-c) = 0\\L(0) = R(0) = bc(b+c)$$ por lo que vemos que $r = -b, s = -c, A = b+c$ para ambos, y por lo tanto son iguales.