La distancia entre dos conjuntos en un espacio métrico es igual a la distancia entre sus cierres

Question

Dejemos que $A,B \subseteq \mathbb{R}^d$ sean conjuntos no vacíos. Definamos que su distancia es

$$ d(A,B) = \inf \{ ||x-y|| : x \in A, \; \; y \in B \} $$

Para cualquier $A,B$ ¿tenemos eso? $d(A,B) = d( \overline{A}, \overline{B} ) $ .

¿Es correcta la siguiente prueba?

Prueba

Tenga en cuenta que siempre tiene $d(A,B)\geq d(\bar{A},\bar{B})$ ya que el supremum se toma sobre un conjunto mayor a la derecha.

Si $d(\bar{A},\bar{B}) = d$ entonces $\exists x_1,x_2,...\in \bar{A}$ y $y_1,y_2,...\in \bar{B}$ , para $\epsilon>0$ , $\exists N$ tal que $d(x_n,y_n)\leq d+\epsilon$ para $n\geq N$

Ahora cada uno de los $x_i$ están en el $\bar{A}$ Esto significa que para cada $x_i$ existe $x_i'\in A$ tal que $d(x_i,x_i')<\epsilon$ (En un espacio métrico, la clausura es el conjunto de puntos límite de $A$ , por lo que debe haber $d(x_i,x_i')<\epsilon$ con $x_i'\in A$ ). Del mismo modo, existe $y_i'\in B$ tal que $d(y_i,y_i')<\epsilon$ . Entonces

$ d(\bar{A},\bar{B})\geq d(x_i,y_i)-\epsilon\geq d(x_i',y_i')-3\epsilon \geq d(A,B)-3\epsilon$

donde utilicé $d(x_i,y_i)+d(x_i',x_i)+d(y_i,y_i')\geq d(x_i',y_i')$ pero $\epsilon$ es arbitraria... así que hemos terminado.

Answer 1

La prueba es correcta. Para tener una prueba más corta del mismo hecho (la distancia entre conjuntos es igual a la distancia entre sus cierres), aquí va:

Dejemos que $\rho = d(A,B)$ . La desigualdad $d(\overline{A},\overline{B})\le \rho$ se mantiene porque el infimo de la izquierda es sobre un conjunto mayor. En el sentido contrario, tomemos cualquier $a\in \overline{A}$ y $b\in \overline{B}$ . El objetivo es demostrar $d(a,b)\ge \rho$ .

Por cada $\epsilon>0$ existe $a'\in A$ y $b'\in B$ tal que $d(a,a')<\epsilon$ y $d(b,b')<\epsilon$ . Por la desigualdad del triángulo, $\rho \le d(a',b')\le d(a,b)+ 2\epsilon$ . Desde $\epsilon$ puede ser arbitrariamente pequeño, $\rho\le d(a,b)$ .