Demostrando una identidad trig

Question

Estoy aprendiendo sobre identidades trigonométricas, y estoy luchando para demostrar que dos expresiones son iguales:

\frac{\sin$ $ (A + B)} {\sin (A - B)} = \frac {\tan A + \tan B} {\tan A - \tan B} $$

¿Cómo vas probando esto? Yo sé acerca de ángulos compuestos - es decir, el seno, coseno y tangente de $(A \pm B)$, pero no sé cómo aplicarla en esta situación.

Answer 1

Empezamos con $\frac{\tan A + \tan B}{\tan A - \tan B}$:

$$\frac{\tan A + \tan B}{\tan A - \tan B}=\frac{\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin B}{\cos B}}{\frac{\sin A}{\cos A}-\frac{\sin B}{\cos B}}=\frac{\sin A\cos B +\sin B\cos A}{\sin A\cos B -\sin B\cos A}=\frac{\sin(A+B)}{\sin(A-B)}.$$

Answer 2

Utilizando las fórmulas de la tangente de la suma, obtenemos

$$\tan (A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$$

y

$$\tan (A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$$

De esta forma, obtenemos

$$\frac{\tan A + \tan B}{\tan A - \tan B} = \frac{\tan (A+B)}{\tan (A-B)} \frac{1 - \tan A \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \frac{\tan (A+B)}{\tan (A-B)} \frac{\cos A \cos B - \sin A \sin B}{\cos A \cos B + \sin A \sin B}$$

$$= \frac{\tan (A+B)}{\tan (A-B)} \frac{\cos (A+B)}{\cos (A-B)} = \frac{\sin (A+B)}{\sin (A-B)}.$$

Answer 3

\frac{\sin$ $ (A + B)} {\sin (A - B)} = \frac {\sin A\cos B + \sin B\cos A} {\sin A\cos B-\sin B\cos A} = \frac {\frac {\sin A\cos B + \sin B\cos A} {\cos A\cos B}} {\frac {\sin A\cos B-\sin B\cos A} {\cos A\cos B}} = \frac {\tan A + \tan $$ B} {\tan A - \tan B}

Answer 4

Usando el hecho de que $e^{i x}=\cos x + i\sin x$, donde $i=\sqrt{-1}$, tenemos

$$\frac{\sin(A+B)}{\sin(A-B)} = \frac{\Im(e^{iA}e^{iB})}{\Im(e^{iA}e^{-iB})} = \frac{\Im((\cos A+i\sin A)(\cos B+i\sin B))}{\Im((\cos A+i\sin A)(\cos B-i\sin B))},$$

donde $\Im$ denota la parte imaginaria. Ampliando y tomando las partes imaginario ($\Im$), obtenemos

$$\frac{\cos A\sin B+\sin A\cos B}{\sin A\cos B-\cos A\sin B}.$$

Dividiendo numerador y denominador por $\cos A \cos B$ da

$$\frac{\left(\displaystyle\frac{\cos A\sin B+\sin A\cos B}{\cos A\cos B}\right)}{\left(\displaystyle\frac{\sin A\cos B-\cos A\sin B}{\cos A\cos B}\right)} = \frac{\tan B+\tan A}{\tan A-\tan B},$$

como sea necesario.

Answer 5

Un muy general (pero muy útil) enfoque es, por destacar los siguientes

$$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$ $$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$

y desde $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

$$\tan(x) = \frac{1}{i}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}} = -i \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}} $$

Observamos aquí que el $i$ es la constante imaginario (básicamente es un número tal que $i^2 = -1$) Voy a dejar de ir por delante y comprobar estas fórmulas de trabajo para cada trig Identidad que ya han memorizado y más información está por debajo de: http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula

Así que queremos demostrar:

$$\frac{\sin(A+B)}{\sin(A-B)} = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{\tan(A) - \tan(B)} $$

Preparamos el lado izquierdo (teniendo en cuenta que ambas fracciones a tomar la forma $\frac{A}{2i}$ y por lo tanto, podemos soltar el $2i$ denominadores

$$\frac{\sin(A+B)}{\sin(A-B)} = \frac{e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)}}{e^{i(A-B)} - e^{-i(A-B)}}$$

Porque yo soy un poco perezoso (y por el bien de darle algo a la práctica) que necesita para hacer el mismo trabajo con el tan(x) de la expresión, donde cada instancia de x es a o B, dependiendo de cuál está siendo evaluado.

Ahora el objetivo es sistemáticamente simplificar expresiones mediante la transformación de las expresiones de la forma $e^{-k}$ $\frac{1}{e^k}$

Seguido por la toma de sumas y dándoles comunes denominadores $\frac{A}{C} + \frac{B}{D} = \frac{AD + BC}{CD}$

Y dividiendo los factores comunes.

Es un proceso tedioso, pero una vez hecho. Tanto la expresión se verá exactamente el mismo... Así que no tiene que tomar mi palabra para ella, hágalo usted mismo y probar que funciona ;)