Cambio de Variable (mapa conformal)

Question

Supongamos que $f$ es una función analítica definida en el disco de la unidad, $D$. Quiero evaluar

$\int_{D} f(\omega) dA(\omega)$

utilizando un cambio de variable. Supongamos que $\phi$ es un mapa conformal de la $D$ sobre sí mismo.

Hace

$\int_{D} f(\omega) dA(\omega) = \int_{D} f(\phi(z)) |\phi^{'}(z)|^{2} dA(z) $?,

donde $\phi^{'}$ es el derivado de $\phi$.

Answer 1

Porque $|\phi'(z)|^2$ es el determinante del jacobiano de $\phi$, esto se deduce la fórmula de sustitución de sistemas abiertos en $\mathbb{R}^n$, como se ve por ejemplo en este artículo de Wikipedia, que contiene más referencias para que el resultado más general. Técnicamente, para aplicar el resultado directamente rompería para arriba de cada lado en partes real e imaginarias.