Probabilidad de encontrar pixeles conectados

Question

Decir que tengo una imagen con píxeles que puede ser o $0$ o $1$. Por simplicidad, suponga que un $2D$ imagen (aunque yo estaría interesado en un $3D$ solución).

Un píxel ha $8$ vecinos (si eso es demasiado complicado, se puede bajar a $4$-conectividad). Dos vecinos de los píxeles con un valor de $1$ son considerados para ser conectado.

Si sé que la probabilidad de $p$ que un píxel individual es $1$, y si puedo asumir que todos los píxeles son independientes, ¿cuántos grupos de al menos $k$ conectado píxeles debo esperar encontrar en una imagen de tamaño $n\times n$?

Lo que realmente necesito es una buena manera de calcular la probabilidad de $k$ píxeles estar conectado dado el píxel individual probabilidades. He empezado a escribir un árbol para cubrir todas las posibilidades hasta el $k=3$, pero incluso entonces, se hace muy feo realmente rápido. Hay una forma más inteligente manera de ir sobre esto?

Answer 1

Esto parece un poco la teoría de la percolación a mí. En el caso 4 del vecino, si nos fijamos en el dual de la imagen, la posibilidad de que una arista está conectada (se ejecuta entre dos píxeles del mismo color) es 1-2p+2p^2 .

¿No creo que se puede obtener buena respuesta de forma cerrada para tu pregunta, pero tal vez un ordenador puede ayudar con alguna simulación de Monte Carlo?

Answer 2

Tengo que admitir que no soy muy buena en matemáticas, pero me tomó un pedazo de papel y de hecho algunos pensamientos con algunos gráficos y llegó a la siguiente idea:

Digamos que la probabilidad de golpear a un determinado píxel es el mismo para cada píxel tiene, entonces usted puede describir la probabilidad de ser

P(X=x1) = a

Entonces la probabilidad de golpear el mismo píxel es mucho menor (por plaza) si usted asume la independencia, de modo que

P(X=[x1;x1]) = P(X=x1)*P(X=x1) = a*a

Ahora, si usted asume 8 vecinos que te voy a contar como éxitos (como eventos positivos), a continuación, que están aumentando la probabilidad por 8 para el segundo multiplicador, porque no sólo quieren tener el mismo pixel, pero uno de los 8 más que eso. Debido a que usted asume todos los píxeles que tienen la misma probabilidad y que son independientes (que es, supongo, no es el caso de real de gráficos)

P(X=[x1;[x2;x3;x4;x5;x6;x7;x8;x9]]) = a*(a+a+a+a+a+a+a+a) 

P(X=[x1;[x2,...,x9]]) = a*(8*a) = 8*a^2

Esto parece de fiar ya que golpear el mismo píxel tiene que ser claramente menos probable, a continuación, el mismo pixel plus uno de 8 píxeles de alrededor.