¿Tienen estos teoremas sobre sistemas de energía para el conjunto vacío?

Question

A partir de la definición de la energía establece como el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado, me doy cuenta de que $\mathcal P(\varnothing) = \{ \varnothing \}$, en otras palabras, el poder establecer el conjunto vacío es el conjunto que contiene sólo el conjunto vacío. Pero, ¿esto funciona para algunos teoremas estamos demostrando que para hacer la tarea? Considere la posibilidad de la por debajo de los dos teoremas:

Para cualquier conjunto a $A$, hay un 1-a-1 la función $f$ $A$ a $\mathcal P(A)$.

No hay ninguna función de un conjunto $A$ a $\mathcal P(A)$.

No necesito ayuda, demostrando los teoremas para no vacía de conjuntos, pero estoy confundido acerca de si son o no relevantes para el conjunto vacío. No me puedo imaginar cómo se podría definir una función de un conjunto vacío en otro conjunto, debido a que el conjunto vacío no tiene elementos para actuar como entradas para la función. Estoy en lo cierto en pensar esto?

Answer 1

La respuesta es sí a ambas. Una función de $A \to B$ puede ser definido como un subconjunto $f \subset A \times B$ con la propiedad de que para cada una de las $a \in A$, existe precisamente una $b \in B$ tal que $(a, b) \in f$, y, a continuación, podemos solucionar esto por $b = f(a)$. Si $A$ está vacía, entonces también lo es el producto Cartesiano, y el conjunto vacío $f := \emptyset$ vacuously define una función $\emptyset \to B$; es cierto que por cada $a \in \emptyset$, existe precisamente una $b \in B$ tal que $(a, b) \in f$, porque no hay tal $a$ existe, en primer lugar.

Dicho esto, las pruebas de $A \hookrightarrow \mathcal P(A)$$A \not\twoheadrightarrow \mathcal P(A)$, si se hizo de ellos el derecho, debe aplicarse igualmente bien, sin complicaciones, a la esquina de los casos como $A$ vacío o finito.

Answer 2

Pensar en una función como algo que transforma una entrada en una salida no es probablemente el punto de vista correcto aquí.

Una función $A\to\mathcal P(A)$ es un subconjunto $f$ % producto cartesiano $A\times\mathcal P(A)$tal eso si % son $(x,y)$y $(x,z)$ $f$, entonces el $y=z$. El conjunto vacío (o "función de vacío", que podríamos llamarlo) satisface esto, y es el único elemento en $\emptyset\times\{\emptyset\}$.

Answer 3

Sé que hay otras tres respuestas ya (y usted ha aceptado a uno), pero quiero ofrecer un punto de vista alternativo porque me siento incómodo con la idea de identificar una función de $f : A \to B$ con su gráfico, siendo este último un subconjunto de a $A \times B$. Estas dos nociones son formalmente identificados en la mayoría de los axiomático conjunto de teorías, pero no hay ninguna necesidad de hacer esto para responder a esta pregunta.

Cuando a los niños se les enseña qué funciones son ellos dicen que están las reglas, o las máquinas, que tomar las cosas en que, desde su dominio) y escupir cosas (desde su codominio), de tal manera que si sigues dándole la misma cosa desde el dominio se mantendrá escupir la misma cosa en su codominio.

A partir de este muy informal noción de una función todavía obtener los resultados en su pregunta. De hecho, si $f : \varnothing \to \mathcal{P}(\varnothing)$ $f$ tiene un trabajo muy fácil: no tiene nada de tomar, por lo que sólo se queda ahí y no hace nada. Es tan bueno como una función como cualquier otro, sólo una muy perezoso, la denominada función vacía. En particular, es vacuously inyectiva, y no puede ser surjective porque no hay nada que pueda tomar para escupir todo.

Todo esto puede ser de manera rigurosa, sin recurrir a la identificación de una función con su gráfica.

Answer 4

Mi definición favorita de una función es que es un triple $(D, C, R)$ donde $D$ es un conjunto llamado dominio, $C$ un conjunto llamado codominio, y $R$ un subconjunto de a $D \times C$ llamado la "regla" o "relación" o "gráfico", y donde $R$ tiene ciertas propiedades:

1. Para cada $x \in D$, hay un elemento $(x, y) \in R$ cuyo primer elemento es $x$.

2. Si $(x, y_1) \in R$$(x, y_2) \in R$,$y_1 = y_2$.

Que puede parecer demasiado formal, pero en este caso, la "función" que estás buscando es $(\emptyset, \{{\emptyset}\}, {\emptyset})$.

Se puede comprobar que tiene las propiedades necesarias (ya que ambos son extremadamente satisfecho).