Inversa de una función existe iff la función es biyectiva

Question

¿Cómo demostrar matemáticamente que inversa de una función, vamos a decir, $f^{-1}$, existe, si y sólo si el $f$ es biyectiva?

Sé cómo probarlo usando diagramas pero estoy en busca de una demostración matemática más bien con argumentos. ¿Quien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

He aquí un loco respuesta, en el sentido de que es muy formal. En primer lugar, por un par de conjuntos de $A$$B$, definir $\pi_1: A \times B \to A: (a, b) \mapsto A$, y de igual manera definir el mapa de $\pi_2$$B$.

Ahora una función es (al menos de acuerdo a una definición formal) con un triple de $$ f = (X, Y, R) $$ donde $R$ es un subconjunto de a $X \times Y$ con dos propiedades:

1. $\pi_1 ( R) = X$, es decir, cada elemento de la $X$ aparece como el primer elemento de algunos par ordenado en $R$, y

2. $\pi_1(x, y) = \pi_1(x, y') \Rightarrow y = y'$, es decir, cada elemento de a $X$ corresponde a más de un elemento de $Y$.

En este contexto, la definición de "surjective" es $\pi_2(R) = Y$, y la definición de "inyectiva" es $\pi_2(x, y) = \pi_2(x', y) \Rightarrow x = x'$.

Si tenemos un surjective y función inyectiva, $f = (X, Y, R)$ podemos construir una nueva función de $g = (Y, X, R')$ donde $R' = \{ (y, x) | (x, y) \in R \}$.

Claramente las propiedades de "surjective" y "inyectiva" de $f$ se convierten en propiedades de $1$$2$$g$; también bastante evidente es que $g$ es lo que generalmente llamamos $f^{-1}$.

Answer 2

Considere una función $f:X\to Y$. Si su no es sobreyectiva, existe $y\in Y$ sin preimagen. Si no es inyectiva, existe $y\in Y$ tal que el preimage $f^{-1}(y)$ contiene por lo menos 2 elementos...

Answer 3

Pruebe a utilizar la izquierda y la derecha inversa concepto:

Consideremos dos funciones: $f : A \to B$$g : B \to A$. Al $f \circ g$ es la identidad de la función en $A$, podemos decir $f$ es una izquierda inversa de a $g$ $g$ es un derecho inversa de a $f$.

Luego de ver que un bijection tiene una función inversa, es suficiente para mostrar lo siguiente:

1. Una función inyectiva ha dejado inversa.
2. Un surjective función tiene un derecho inversa.
3. Si una función tiene una a la izquierda y a la derecha inversa son la misma función.