Construir una variable aleatoria con una distribución determinada

Question

Supongamos que ($\Omega$, $\mathcal{F}$,$P$) donde $\mathcal{F}$ $\sigma$- álgebra de Lebesgue medibles subconjuntos de a $\Omega\equiv[0,1]$ $P$ es la medida de Lebesgue. Deje $G:\mathbb{R}\to[0,1]$ ser una distribución arbitraria de la función. Mis preguntas:

1. Podemos siempre constructo $X:\Omega\to\mathbb{R}$, de modo que $X$ $G$ como CDF?
2. Si la respuesta es 'Sí' a la anterior, ¿cuáles son otras trillizos además de la particular $(\Omega,\mathcal{F},P)$ arriba que te dan la misma respuesta?

Si $G$ es continua y tiene rango de $[0,1]$, $X(\omega)=G^{-1}(\omega)$ para $\omega\in[0,1]$ obras: $$ \Pr[X\leq x]=P[\omega:X(\omega)\leq x]=P[\omega:\omega\leq G(x)]=P([0,G(x)])=G(x). $$ Pero no sé cómo lidiar con el más general de la $G$.

Answer 1

Una condición necesaria y suficiente es que $(\Omega,\mathcal{F},P)$ es un atomless espacio probabilístico. Un átomo en un espacio de probabilidad es un conjunto de $E\in\mathcal{F}$ tal que $P(E)>0$ y para todos los $F\subseteq E$ $F\in\mathcal{F}$ o $P(F)=0$ o $P(F)=P(E)$. La prueba de suficiencia es algo desordenada y naturalmente procede mediante la construcción de una variable aleatoria uniformemente distribuida con valores en $[0,1]$.

Answer 2

Buena referencia para las condiciones suficientes para 1. a ser posible es lema 2.3 en Berkes y Philipp (1979): aproximación Thorems para independiente y débil dependiente vectores al azar