Tengo que hacer el siguiente. Deje $F$ ser un algebraicamente cerrado de campo. $I\in F[X_1,...,X_n]$ un ideal. Denotar por $S(I)$ el subconjunto de $F^n$ que consta de todos los $n$-tuplas $(a_1,...,a_n)\in F^n$ tal que $f(a_1,...,a_n)=0$ todos los $f\in I$. Un subconjunto $S\subset F^n$ se llama cerrado si existe un ideal de a $I$ ($F[X_1,...,X_n]$tal que $S=S(I)$. Demostrar que la unión de dos conjuntos cerrados es cerrado.
Aquí va mi intento:
Primero: yo creo que si $S$ se cierra, que puedo encontrar una $I$ tal que es generado por un elemento y $S(I)=S$.
Prueba: Por la definición de cerrado sabemos que hay un $J$ tal que $S=S(J)$. Desde nuestro anillo es Noetherian sabemos que $J$ es f.g. por lo $J=\langle f_1,..,f_k\rangle$. Deje $h=\gcd(f_i)$. Yo reclamo que $I=\langle h\rangle $ obras. Si $(a_1,..,a_n)\in S$,$f_i(a_1,..,a_n)=0$. Desde $h=\sum \alpha_i f_i$ (Bezout), simplemente enchufe en $(a_1,...,a_n)$ a ambos lados y obtener ese $h(a_1,...,a_n)=0$, por lo que, de hecho,$(a_1,...,a_n)\in S(I)$. Para la inversión de inclusión si $(a_1,..,a_n)\in S(I)$,$h(a_1,...,a_n)=0$. Como $h\mid f_i$,$f_i(a_1,...,a_n)=0$, lo $(a_1,...,a_n)\in S(J)$.
Ahora, utilizando este hecho, voy a resolver la pregunta:
Deje $S_1$ $S_2$ ser cerrado con $I_1=\langle f\rangle$ $I_2=\langle g\rangle$ tal que $S_1=S(I_1)$, e $S_2=S(I_2)$. A continuación, vamos a $h=$lcm$ (f,g)$. Entonces tenemos que $S(\langle h\rangle)$ obras. Si $(a_1,...,a_n)\in S_1\cup S_2$, entonces cualquiera de las $f(a_1,...,a_n)$ o $g(a_1,...a_n)=0$ (wlog decir el primer caso que sucede). Entonces a partir de la $f\mid h$$(a_1,...,a_n)\in S(\langle h\rangle)$. Por el otro inclusión sólo tenga en cuenta que si $h(a_1,...,a_n)=0$ luego eithe $f(a_1,...,a_n)=0$ o $g(a_1,...,a_n)=0$ (porque de lo contrario tendríamos $fg(a_1,....,a_n)\neq 0$ y desde $h\mid fg$ tendríamos una contradicción aquí) así tenemos que, o bien $(a_1,...,a_n)\in S_1$ o $(a_1,...,a_n)\in S_2$.
Pregunta: ¿en Dónde tengo la algebraicas cierre de aquí?
