¿Este conjunto de vectores es linealmente (in)dependiente?

Question

Tengo el siguiente problema:

¿Son los siguientes vectores linealmente independientes en $\mathbb{R}^2$ ? \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \ -2 \N - fin{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix}

cuando resuelvo esto usando $c_1 v_1+c_2 v_2+ c_3 v_3=0$

Obtengo un sistema subdeterminado, ¿alguien puede ayudarme a entender qué significa esto para la independencia lineal?

Gracias de antemano :)

Answer 1

$\mathbb R^2$ tiene dimensión $2$ , por lo que un conjunto de $3$ vectores de $\mathbb R^2$ puede nunca sean linealmente independientes.

(En tu caso, los tres vectores son aún más dependientes de lo que tienen que ser, ya que son todos paralelos).

Answer 2

$$0v_1+2v_2-v_3=0$$

En general, nunca se puede tener más de $k$ vectores linealmente independientes en un $k$ -espacio vectorial de dimensiones

Answer 3

Aunque otras respuestas han señalado la vía rápida (más de $n$ Los vectores no pueden ser linealmente independientes en un $n$ -espacio dimensional), sólo quería ayudarte a completar tu propio enfoque, que era resolver

$$c_1 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix} = 0.$$

Respuesta correcta

Como has notado, esto te da dos ecuaciones en tres incógnitas

$$\begin{matrix} -c_1 &{} + c_2 &{} + 2c_3 &{} = {}& 0\\ 2 c_1 &{} - 2 c_2 &{} - 4 c_3 &{} = {}& 0 \end{matrix}$$

Como tienes más variables que restricciones, si puedes encontrar cualquier solución obtendrás infinitas. Por ejemplo, sumando la primera ecuación a la segunda dos veces se obtiene

$$0 = 0.$$

Aunque esto es cierto, no le da absolutamente ninguna información. Significa que la segunda ecuación es sólo un múltiplo de la primera, por lo que cualquier solución de una es también una solución de la otra. Todo lo que tenemos entonces, es la primera ecuación, que reescribiré como

$$c_1 = c_2 + 2c_3$$

Si dejamos que $c_2 = a$ , $c_3 = b$ la ecuación nos dice que cualquier combinación de $(c_1, c_2, c_3)$ de la forma $(a + 2b, a, b)$ ( $a, b \in \mathbb R$ ) resuelve el sistema. Si se establece $a = b = 0$ se obtiene la solución trivial, pero también $(1, 1, 0)$ o $(13, 3, 5)$ son posibilidades. Así que ha demostrado que $$c_1 v_1+c_2 v_2+ c_3 v_3=0$$ no sólo tiene la solución trivial, de hecho has demostrado que tiene infinitas porque cualquier combinación lineal de la forma $(a + 2b) v_1 + a v_2 + b v_3 = 0$ por lo que los vectores no son independientes.

Respuesta antigua

Como has notado, esto te da dos ecuaciones en tres incógnitas

$$\begin{matrix} -c_1 &{} + c_2 &{} + c_3 &{} = {}& 0 & (!)\\ 2 c_1 &{} - 2 c_2 &{} - 4 c_3 &{} = {}& 0 \end{matrix}$$

(Nótese que la primera ecuación marcada con (!) es incorrecta, debido a una errata en el post original tiene $c_3$ en lugar de $2c_3$ Pero creo que el resto del post muestra una técnica importante, así que dejo esta parte como referencia).

Dado que tiene más variables que restricciones, si puede encontrar cualquier solución obtendrás infinitas. Por ejemplo, sumando la primera ecuación a la segunda dos veces se obtiene

$$-2c_3 = 0 \implies c_3 = 0.$$

Entonces, sustituyendo de nuevo en la primera, se obtiene

$$-c_1 + c_2 = 0$$ o $$c_1 = c_2,$$

que es toda la información que puedes exprimir de esas dos ecuaciones.

Esto significa que cualquier combinación de $(c_1, c_2, c_3)$ de la forma $(a, a, 0)$ ( $a \in \mathbb R$ ) resuelve el sistema. Si se establece $a = 0$ se obtiene la solución trivial, pero también $(1, 1, 0)$ es una posibilidad. Así que ha demostrado que $$c_1 v_1+c_2 v_2+ c_3 v_3=0$$ no sólo tiene la solución trivial, de hecho has demostrado que tiene infinitas porque cualquier combinación lineal de la forma $a v_1 + a v_2 = 0$ por lo que los vectores no son independientes.

El camino corto

En las dos variaciones anteriores, hemos explorado básicamente por qué un sistema con menos ecuaciones que incógnitas está infradeterminado. O bien dos o más ecuaciones son múltiplos de otra, en cuyo caso se pueden eliminar los "duplicados". El $k$ ecuaciones independientes en el $n$ incógnitas que has dejado arreglar $k$ de las variables, pero se obtiene un $n - k$ espacio de solución dimensional. En la respuesta correcta, $n = 3, k = 1$ mientras que en la primera versión tenía accidentalmente $k = 2$ pero todavía se necesita una constante, cuyo valor arbitrario da una solución.

Por supuesto, usted podría haber visto esto de inmediato, ya que $v_1 = -v_2$ y $v_3 = 2v_2$ y cualquiera de ellos es suficiente.

Answer 4

La línea $2x+y=0$ que une dos puntos cualesquiera pasa también por el origen, por lo que no son linealmente independientes.

Answer 5

En realidad, los tres vectores son múltiplos unos de otros, como se ve aquí sin ningún cálculo. Esto es suficiente para decir que los vectores son linealmente dependientes. Incluso dos de sus vectores no son linealmente independientes, sino linealmente dependientes.

No domino la escritura de los símbolos matemáticos (y aún no se me permite añadir comentarios), por lo que escribo con cierta torpeza:

  vector2 (1,-2) = (-1)*vector1 (-1,2)

  vector3 (2,-4) =   2*vector2 (1,-2) = (-2)*vector1 (-1,2)

Lo que se refiere a tu ecuación, que era tu pregunta: como tu ecuación está subdeterminada, esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Este es el comportamiento normal de una ecuación de este tipo para vectores linealmente dependientes.

En tu caso, aunque pusieras c1=1, la ecuación quedaría indeterminada, porque v2 y v3 son linealmente dependientes. Esto no ocurriría si dos de los vectores, digamos v2 y v3, fueran linealmente independientes, o no fueran simplemente paralelos como lo son tus vectores.