Dada la relación de recurrencia no lineal : $b_n=(\frac{1}{2}b_{n-1}+\frac{1}{2})^2$ , entonces evalúa $\lim_{n\to\infty} (b_n)^{2n}$

Question

Me encuentro con el siguiente problema: Dada la relación de recurrencia no lineal : $b_n=(\frac{1}{2}b_{n-1}+\frac{1}{2})^2$ con $b_0=\frac{1}{2}$ queremos evaluar el $\lim_{n\to\infty} (b_n)^{2n}$ .

En primer lugar, uso MATLAB para verificar esto numéricamente, y el resultado debe ser $e^{-8}$ .

Sé que no es fácil encontrar una forma cercana de una relación de recurrencia no lineal (aquí es un mapa cuadrático) en general. En este caso, podemos ver que $\lim_{n\to\infty}b_n=1$ . En efecto, supongamos que $\lim_{n\to\infty}b_n=L$ y sustituirlo en la relación de recurrencia. Obtendremos: $L=(\frac{1}{2}L+\frac{1}{2})^2$ y la solución es $L=1$ . Aunque tal vez no podamos encontrar la forma exacta de $b_n$ ¿es posible encontrar la rapidez con la que converge a $1$ ?

Gracias por cualquier pista.

Answer 1

$$b_n=\left(\frac{1}{2}b_{n-1}+\frac{1}{2}\right)^2$$

Dado que $b_n\to1$ Consideramos que $\gamma_n=\frac{b_n-1}{2}$ y esto nos lleva a:

$$\gamma_{n+1}=\gamma_{n}+\frac{1}{2}\gamma_{n}^2$$

Como heurística, intentamos $\gamma_n\sim An^{-\beta}$ para ver qué comportamiento esperar:

$$A(n+1)^{-\beta}\approx An^{-\beta}+\frac{1}{2}A^2n^{-2\beta}$$

$$\implies\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-\beta}\approx1+\frac{-\beta}{n}\approx 1+\frac{A}{2n^{\beta}}$$

Si se hace coincidir, elegimos $\beta=1,A=-2$ y por eso sospechamos que $\gamma_n\approx\frac{-2}{n}$ . Por lo tanto, establecemos $f_n=\frac{-2}{\gamma_n}\to\infty$ :

$$f_{n+1}=\frac{f_n^2}{f_n-1}=f_n+1+\frac{1}{f_n-1}=f_n+1+o(1)\implies f_n=n+o(n)$$

Por lo tanto, deducimos:

• $\gamma_n=\frac{-2}{n+o(n)}$
• $b_n=1-\frac{4}{n+o(n)}$
• $\log\left(b_n^{2n}\right)=2n\log\left(1-\frac{4}{n+o(n)}\right)=(2n)\left(\frac{-4}{n+o(n)}+o\left(\frac{-4}{n+o(n)}\right)\right)=-8+o(1)$

Así, $b_n^{2n}\to \exp(-8)$ como $n\to\infty$ .