¿Es la regularización de una transformada de Fourier?

Question

La transformada de Fourier del potencial de Coulomb $1/\vert \mathbf r \vert$ de una carga eléctrica no convergen debido a que se obtiene $$F(k)=\frac {4\pi}{k} \int_0^\infty \sin(kr) dr.$$

La manera estándar de obtener un razonable valor en múltiples el integrando por $f(\alpha,r)=e^{-\alpha r}$, y después de hacer la integral, tomando el límite de $\alpha\to 0$ (que tiene una buena razón física). Así que uno se $$F(k)=\frac{4\pi}{k^2}.$$

Cualquier otra función $f(\alpha,r)$ que hace que la integral converge y que satisface $\lim_{\alpha\to\alpha_0}f(\alpha,r)=1$ dar el mismo resultado? Por ejemplo $$F(k)=\lim_{\alpha\to 0}\frac {4\pi}{k} \int_0^\infty \frac{\sin(kr)}{\Gamma(\alpha r)} dr\stackrel{?}{=}\frac{4\pi}{k^2}.$$

En este caso, Cesàro integración da el mismo resultado. ¿Cuál sería la condición suficiente para que la singularidad de regularización (tal vez la teoría de templado de distribuciones puede responder a esta).

Answer 1

Probablemente no sea la respuesta que buscas, pero aquí es de todos modos :

No especifica la dimensión del espacio, por lo que permite decir que la dimensión es 3. Yo también voy a suponer que usted está familiarizado con la teoría de la distribución.

Tomamos nota de $q(x)=1/\|x\|_2$, $\mathbb R^3$ esta función es localmente integrable y delimitada fuera de la (compacto) de la unidad de pelota. Así que la función $q$ puede ser considerado como una base de distribución, esto es una cosa buena causa podemos definir $\mathcal F(q)$ sin ambigüedad : para cualquier función de $\varphi$ en el conjunto de Schwartz clase $\mathcal S(\mathbb R^3)$ tenemos $\langle\mathcal F(q)|\varphi\rangle=\langle q | \mathcal F (\varphi)\rangle=\int q\mathcal F(\varphi)d \lambda$ (por Lo $\mathcal F (q)$ es también una base de distribución).

Ahora supongamos que tenemos una secuencia $(q_n)_n$ templado de distribuciones. Tenemos $$\langle\mathcal F(q_n)|\varphi\rangle=\langle q_n | \mathcal F (\varphi)\rangle$$ and we want $$\lim_n \langle\mathcal F(q_n)|\varphi\rangle=\lim_n\langle q_n | \mathcal F (\varphi)\rangle=\langle\mathcal F(q)|\varphi\rangle=\langle q | \mathcal F (\varphi)\rangle$$ para todos los $\varphi \in \mathcal S(\mathbb R^3)$. En otros términos queremos $\mathcal F (q_n)$ a converger a $\mathcal F (q)$ en el sens de $S'(\mathbb R^3)$. Desde $\mathcal F$ es un automorphism de $\mathcal S(\mathbb R^3)$ esto es equivalente a $$\lim_n \langle q_n|\mathcal \varphi\rangle= \langle\mathcal q|\varphi\rangle \;\;\forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb R^3) $$ cual es la definición de $q_n\to q$ $\mathcal S'(\mathbb R^3)$ (convergencia en el sentido de templado de distribución). Y, por definición, $q_n \to q\in \mathcal S'(\mathbb R^3)$ si y sólo si $\langle q_n |\varphi\rangle\to\langle q |\varphi\rangle$ $\forall \varphi \in S(\mathbb R^3) $.

Ahora bien, si suponemos, además, que el $q_n$ $L^1(\mathbb R^3)$ funciones (como en tu ejemplo), entonces tenemos $\langle q_n |\varphi\rangle=\int q_n \varphi d \lambda$, por lo que se puede demostrar la convergencia en $S'(\mathbb R^3)$ usando el teorema de convergencia dominada por ejemplo.

Ahora, yo creo que lo que realmente quería era la pointwise convergencia, pero esta pregunta es probablya poco más complicado.