Cómo puedo encontrar la proyección de un punto sobre un plano

Question

Digamos tiene el % de punto $(x, y, z)$y el plano normal $(a, b, c)$ con el punto $(d, e, f)$. Estoy tratando de usar esto en $3D$ programación. ¡Gracias!

Answer 1

Quieres encontrar $t$, que $(x+ta,y+tb,z+tc)$, #% y $(x,y,z)$ $(d,e,f)$forma un derecho ángulo de triángulo, con la primera de ellas (el punto que buscas) es el ángulo recto. Usted puede hacer esto con productos, y esto le dará

$$t = \frac{ad-ax+be-by+cf-cz}{a^2+b^2+c^2}.$$

Substituir esto en $(x+ta,y+tb,z+tc)$ y tienes tu resultado.

Answer 2

Tomar el vector de desplazamiento desde el punto en el plano el punto dado: $$ {\bf v} = (x-d, y e, z-f) $$ % que ${\bf w}$ser el vector normal al plano.

Si pones $$ {\bf v} _\parallel = {{\bf v} \cdot {\bf w} \over\Vert {\bf w} \Vert^2} {\bf w} $$ y $$ {\bf v} _\perp = {\bf v}-{\bf v} _\parallel $$ entonces

$\ \ \ \ {\bf v}={\bf v}_\parallel +{\bf v}_\perp$,

$\ \ \ \ {\bf w}\perp{\bf v}_\perp$,

$\ \ \ \ {\bf w}\parallel {\bf v}_\parallel $.

De esta forma, el punto requerido es $(d,e,f)+{\bf v}_\perp$.

Answer 3

Nos indican su punto como $(x_0,y_0,z_0)$ $(x,y,z)$ y proyección como $(x'_0,y'_0,z'_0)$

Ecuación paramétrica de la línea que pasa por el punto y su proyección está dada por:

$x'_0=x_0+a\cdot t$

$y'_0=y_0+b\cdot t$

$z'_0=z_0+c\cdot t$

Ecuación del plano es:

$a \cdot(x-d)+b\cdot(y-e)+c\cdot(z-f)=0$

Ahora, desde que punto de $(x'_0,y'_0,z'_0)$ pertenece al plano tienes que sustituir sus coordenadas en la ecuación del plano en lugar de $x,y,z$ y calcular el parámetro $t$.

Answer 4

Usted tiene que tomar la línea paralela al vector normal en el punto $(x,y,z)$ y la proyección será la intersección de este ápice de la línea del plano.