Cómo resolver la ecuación funcional $f(2x)=2f(x)/(1+(f(x))^2)$

Question

resolver la ecuación funcional $f(2x)=\dfrac{2f(x)}{1+(f(x))^2}$

Ya he sabido que $\tanh(2x)=2\tanh(x)/(1+(\tanh(x))^2)$.

tangente hiperbólica

Answer 1

Sugerencia: deje $\displaystyle g(x) = \frac{1+f(x)}{1-f(x)}\,$, entonces:

$$\requieren{cancel} g(2x)=\frac{1+f(2x)}{1-f(2x)} = \frac{1+ \frac{2f(x)}{1+f^2(x)}}{1- \frac{2f(x)}{1+f^2(x)}}=\frac{(1+f(x))^2}{(1-f(x))^2} = g^2(x) $$

Con adecuado suavidad supuestos, las soluciones serán de la forma $\,g(x)=e^{\lambda x}\,$.

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[ EDITAR ] Para ampliar un poco en la elección de $\,g\,$, que no fue ni arbitraria, ni la suerte ciega... Se remonta a la observación de que $\,\tanh(x)\,$ satisface el dado funcional de la ecuación, como el OP debidamente señalado.

Pero $\displaystyle\, \tanh(x)= \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \iff e^{2x} = \frac{1+\tanh(x)}{1-\tanh(x)}\,$, por lo que la función de $\displaystyle\, \frac{1+f(x)}{1-f(x)}\,$ podría, con suerte, se comportan "como" una exponencial y el rendimiento de una más fácil de resolver funcional de la ecuación. Lo que hizo.

Answer 2

Para utilizar la identidad que ha observado es decir $\tanh(2x)=2\tanh(x)/(1+(\tanh(x))^2)$

Que $ g(x)= \tanh^{-1} \circ f(x)$,\begin{align*} \dfrac{2f(x)}{1+(f(x))^2}&= \dfrac{2\tanh\circ g (x)}{1+(\tanh\circ g (x))^2} \\ &= \tanh(2g(x)) \end{align*} y $$f(2x)=\tanh\circ g (2x) $ $ por lo tanto, $$2g(x)=g(2x). \fbox{1} $ $ cualquier función lineal de la $\mathbb{Q}-$ cumple con la anterior. Para mostrar que $g$ es $\mathbb{R}-$ lineal asume que $g$ es diferenciable, y $g'$ es continua en cero.

$\fbox{1}$ La diferenciación, obtenemos $g'(x)=g'(2x)$. Inductivo, obtenemos $g'(x)= g'(x\cdot 2^{-n})\rightarrow g'(0)$. Por lo tanto, $$g(x)=g'(0)x.$ $