Prueba vectorial algebraica de la identidad de Lagrange

Question

$$|v · w| ^2 + |v × w| ^2 = |v|^2 |w|^2 $$

Editar

A pesar de hacerlo varias veces parece que he hecho una comida de la expansión ver la respuesta de Jean-Claude para una gran explicación

Utilizando $v = (v_1,v_2,v_3)$ y $w = (w_1, w_2, w_3)$ he ampliado el LHS y he conseguido

$$(v_2)^2(w_3)^2 + (v_3)^2(w_2)^2 + (v_3)^2(w_1)^2 + (v_1)^2(w_3)^2 + (v_1)^2(w_2)^2 + (v_2)^2(w_1)^2 +(v_1)^2(w_1)^2 + (v_2)^2(w_2)^2 + (v_3)^2(w_3)^2 -\mathbf{2(v_2 w_3 w_2 v_3 + v_3 w_1 v_1 w_3 + v_1 w_2 v_2 w_1)}$$

Ahora esto es RHS menos los términos en negrita y no sé cómo deshacerse de los términos en negrita.

Answer 1

No puedo evitar publicar una prueba de esta identidad que se me acaba de ocurrir. Recuerda los vectores de base unitaria $\vec i,\vec j, \vec k$ ? Reciben su nombre de los cuaterniones, que tienen la forma general $a+bi+cj+dk$ Para más información, véase https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion .

En cualquier caso, considere $v$ y $w$ como cuaterniones con parte real $0$ (es decir, $a=0$ ). Entonces $vw$ tiene parte real $-v\cdot w$ y la parte imaginaria $v\times w$ . La norma al cuadrado de este cuaternión es por tanto $|v\cdot w|^2+|v\times w|^2$ . Por otro lado, como la norma es multiplicativa, esto también es $|v|^2|w|^2$ .

Answer 2

Usted tiene

\begin |v \cdot w|^2 &= (v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3)^2 \\ &= v_1^2w_1^2 + v_2^2w_2^2 + v_3^2w_3^2 + 2v_1w_1v_2w_2 + 2v_2w_2v_3w_3 + 2v_3w_3v_1w_1 \text {.} \\ v \times w &= \begin {pmatrix}v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end {pmatrix} \text {.} \\ |v \times w|^2 &= (v_2w_3-v_3w_2)^2+ (v_3w_1-v_1w_3)^2 +(v_1w_2-v_2w_1)^2 \\ &= v_2^2w_3^2+v_3^2w_2^2-2v_2w_2v_3w_3+v_3^2w_1^2+v_1^2w_3^2-2v_1w_1v_3w_3 \\ & \qquad {} + v_1^2w_2^2+v_2^2w_1^2-2v_1w_1v_2w_2 \text {.} \\ |v \cdot w|^2+|v \times w|^2 &= v_1^2w_1^2+v_2^2w_2^2+v_3^2w_3^2+v_2^2w_3^2+v_3^2w_2^2+v_3^2w_1^2+v_1^2w_3^2 \\ & \qquad {} + v_1^2w_2^2+v_2^2w_1^2 \\ &= v_1^2(w_1^2+w_2^2+w_3^2)+v_2^2(w_1^2+w_2^2+w_3^2)+v_3^2(w_1^2+w_2^2+w_3^2) \\ &= (v_1^2+v_2^2+v_3^2)(w_1^2+w_2^2+w_3^2) \\ &= |v|^2|w|^2 \text {.} \end {align*}

Ver también La identidad de Lagrange en Wikipedia, para otros enfoques.

Answer 3

Una pista:

Te equivocas porque no has calculado los términos del doble producto por el producto punto que son iguales a tu término en negrita ( pero positivo).

Para una prueba más sencilla utiliza el hecho:

$$ |\vec v \cdot \vec w|^2=|\vec v|^2|\vec w|^2\cos^2 \theta \qquad |\vec v \times \vec w|^2=|\vec v|^2|\vec w|^2\sin^2 \theta $$ donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores.

Answer 4

Creo que lo más fácil es simplemente observar que los términos cruzados de los tres productos cruzados $$ -2u_2v_2u_3v_3,\,-2u_3v_3u_1v_1,\,-2u_1v_1u_2v_2 $$ se cancelan con los tres términos cruzados del término del producto punto $$ 2u_2v_2u_3v_3,\,2u_3v_3u_1v_1,\,2u_1v_1u_2v_2 $$ Entonces nos quedan los cuadrados de los productos de todos los términos con índices distintos $$ u_2^2v_3^2,\,u_3^2v_2^2,\,u_3^2v_1^2,\,u_1^2v_3^2,\,u_1^2v_2^2,\,u_2^2v_1^2 $$ del producto cruzado y los cuadrados de todos los términos con índices idénticos $$ u_1^2v_1^2,\,u_2^2v_2^2,\,u_3^2v_3^2 $$ del producto punto. Es decir, $$ \begin{align} &(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2+(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2\\ &=\left(u_1^2+u_2^2+u_3^2\right)\left(v_1^2+v_2^2+v_3^2\right) \end{align} $$

Answer 5

Como ambos lados de la igualdad son homogéneos, se puede suponer que $v$ y $w$ son vectores unitarios. Los dos lados también son invariantes bajo la rotación del marco de coordenadas. Por lo tanto, se puede suponer además que $v=(1,0,0)^T$ . La igualdad se reduce entonces a $w_1^2+(w_2^2+w_3^2)=1$ lo cual es cierto porque $w$ es un vector unitario.

Editar. Como alternativa, escriba $w=u+z$ , donde $u\parallel v$ y $z\perp v$ . Entonces $$ |v\cdot w|^2+|v\times w|^2 =|v\cdot u|^2+|v\times z|^2 =|v|^2|u|^2+|v|^2|z|^2=|v|^2|w|^2. $$