Demuestre que la suma de AP es mayor que la suma de GP si el primer y el último término de ambas series son iguales, todos los términos son positivos y el número de términos es igual

Question

Pregunta: Un PA y un GP con términos positivos tienen el mismo número de términos y su primer y último término son iguales. Demostrar que la suma de GP no puede superar a la suma de AP.

Intento:

• Que la suma de AP sea $A$ y el de GP sea $G$ . r' es la relación común.
• sean el primer y el último término de ambas series a y b.

$A=\frac{n}{2}(a+b)=\frac{na}{2}(1+r^{n-1})$

$\frac{G}{A}=\frac{2(1+r+r^2+....+r^{n-1})}{n(1+r^{n-1})}$

ya que todos los términos son positivos, $r$ es positivo y $1+r+r^2+r^{n-1}$ es mayor que $1+r^{n-1}$ para todo r positivo.

Pero esto no me ayudará a conseguir la desigualdad. No entendí la solución dada en el libro, así que traté de resolverla yo mismo.

Answer 1

Un posible enfoque

Supongamos que $A_k$ y $G_k$ son los términos de la serie, con $A_0=G_0=a$ y $A_n=G_n=b$

entonces $$ A_k = a + k\frac{b-a}{n} $$ y $$ G_k = a \left(\frac{b}{a} \right)^{\frac{k}{n}} $$ set $\lambda=\frac{b}{a}-1$ . entonces $$ D_k=\frac{A_k-G_k}{a} = 1 + \frac{k}{n}\lambda - (1+ \lambda)^{\frac{k}{n}} $$ para obtener el resultado que se requiere, basta con demostrar que para $\alpha \in (0,1)$ y para $\lambda \gt 0$ se cumple la siguiente desigualdad: $$ (1+\lambda)^{\alpha} \le 1 + \lambda \alpha $$

Answer 2

Este es un método inusual para mí. Pero de todos modos, esta es la respuesta dada en el libro: