Homotopy de Fibra de Secuencia de la Clasificación de los Espacios

Question

Deje $G$ ser un grupo topológico y $H$ ser un subgrupo normal de $G$ (creo $H$ que se requiere para ser admisible, en el sentido de que el cociente mapa de $G\to G/H$ es una de las principales $H$-bundle, estoy en lo cierto?). Entonces existe un homotopy de fibra de secuencia $BH\to BG\to B(G/H)$ donde $BG$ indica la clasificación de espacio de $G$.

Mi pregunta es: supongamos que ya sabemos que los grupos de $G$ $H$ y supongamos que sabemos que la clasificación de espacio de $G/H$ y la clasificación del espacio de $H$, hasta qué punto podemos decidir la clasificación de espacio de $G$ a partir de estos datos? Cómo encontrar la clasificación de espacio de $G$, si se conoce la clasificación de espacio de $G/H$ y la clasificación del espacio de $H$?

Su respuesta será muy apreciada.

Answer 1

Suponga que usted tiene la secuencia exacta $$1\rightarrow H\rightarrow G\rightarrow G/H\rightarrow 1$$Then it induces a fibration $$BH\rightarrow BG\rightarrow B(G/H)$$ as we imagine some large enough total space $por ejemplo$ whose quotient by $G$ is $BG$, by $H$ is $BH$, etc.

Supongamos ahora sabemos $B(G/H)$ $B(H)$ pero no sabe $BG$, entonces necesitamos de ciertas invariantes para distinguir $BG$ a partir de varios posibles fibrations que no son isomorfos. Sin más información de la estructura de $BH$$B(G/H)$, este problema es tan desesperada como la clasificación de cualquier fibrations sobre cualquier base de espacio. Esto es debido a que hemos $$B\Omega X=X$$for $X$ conectado a un espacio topológico con una base fija de punto. Por lo que en principio no sabemos.