¿Puede el producto de una secuencia de números entre 0 y 1 convergen en positivo?

Question

¿Que $x_n \in (0,1)$, es posible que $\prod_{n=1}^\infty x_n >0$? Creo que no es así, porque esos pequeños números multiplicados juntos será más pequeño y más pequeño, pero no estoy seguro si hay un límite inferior positivo del producto. ¡ Gracias!

Answer 1

Por ejemplo, establecer $$a_n = 1+\frac{1}{2^n}

y entonces $$b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}} < 1,$ $ para que % $$$ \prod_{k=1}^n b_k = \frac{a_n}{2}.$

Por supuesto, implica que su $x_n \to 1$. En caso de $x_n \not\to 1$ significa que existe $\alpha \in (0,1)$ tal que $x_n < \alpha$ infinitamente muchas veces y $\prod_k^n x_k \leq \alpha^{\#\{k \leq n \mid x_k < \alpha\}} \to 0$.

Espero que ayude ;-)

Answer 2

Bueno, si $\prod_n x_n = \theta$ y $x_n, \theta >0$ y $\ln(\prod_n x_n ) = \sum_n \ln x_n = \ln \theta$. Entonces puede utilizar su conocimiento de conminaciones para encontrar un ejemplo.

Aquí está uno: $\theta = e^{-\frac{1}{2}}$ y $x_n = e^{-\frac{1}{2^{n+2}}}$.

Answer 3

Tomar tu serie favorita convergente con término general positivo $\sum_{n\geq 1} y_n = S.$$entonces set$$x_n = e ^ {-y_n} = \frac {1} {e ^ {y_n}}.$$Tienes$$\prod_{n\geq 1} x_n = e ^ {-S} = \frac {1} {e ^ S}.$$

Answer 4

$n\in\Bbb Z^+$ Deje que $y_n=\prod_{k=1}^nx_k$. Definir $x_n$ recursivamente hasta que % $y_n=\frac14+\frac1{2^{n+1}}\;.$

$x_1=y_1=\frac14+\frac14=\frac12$, Y $n>1$ debemos tener $$x_n=\frac{y_n}{y_{n-1}}=\frac{\frac14+\frac1{2^{n+1}}}{\frac14+\frac1{2^n}}=\frac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}+2}<1\;.

Es decir, la secuencia $$\left\langle\frac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}+2}:n\in\Bbb Z^+\right\rangle

es una secuencia de números en $(0,1)$ cuyo producto es

$$\lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac14+\frac1{2^{n+1}}\right)=\frac14>0\;.$$

He escogido arbitrariamente el destino producto $\frac14$ y decidió abordarlo en pasos de $2^{-k}$; claramente, la misma idea puede utilizarse para construir por la fuerza bruta un ejemplo con cualquier producto deseado en $(0,1)$, se acercó a los pasos de una secuencia razonable de tamaños.